第十章 概率 测评卷（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第十章　概率 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列各项中,属于随机事件的是(　　) A.若正方形边长为a,则正方形的面积为a2 B.在没有任何辅助情况下,人在真空中也可以生存 C.在一个标准大气压下,温度达到80 ℃时水会沸腾 D.抛掷一枚质地均匀的硬币,反面向上 2.某种心脏手术的成功率为0.6,现采用随机模拟的方法估计“3例该种心脏手术全部成功”的概率:先利用计算器或计算机产生0到9之间的整数随机数,用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果,经随机模拟产生如下10组随机数:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907.由此估计“3例该种心脏手术全部成功”的概率为(　　) A.0.2　　B.0.3　　C.0.4　　D.0.5 3.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A,B,其中n(Ω)=12,n(A)=6,n(B)=4,n(A∪B)=8,则下列结论错误的是(　　) A.P(AB)=　　B.P(A∪B)=　　C.P(B)=　　D.P(　)= 4.甲、乙两台机器分别加工一个相同型号的零件,已知甲、乙两台机器加工得到A级产品的概率分别为和,两个零件是否被加工为A级产品相互独立,则这两个零件中恰有一个被加工为A级产品的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”,现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片,则一张为“琮琮”,一张为“宸宸”的概率是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.张益唐是著名的华人数学家,他在数论研究方面取得了巨大成就,曾经在《数学年刊》发表《素数间的有界距离》,证明了存在无穷多对素数间隙都小于7 000万.2013年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式,孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的,可以这样描述,存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数,在不超过12的素数中,随机选取两个不同的数,能够组成孪生素数的概率是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.抛掷一枚质地均匀的骰子2次,事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”,事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”,事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”,则(　　) A.甲、乙互斥　　B.乙、丙互为对立　　 C.甲、乙相互独立　　D.甲、丙互斥 8.我们所说的ABO血型系统是由A,B,O三个等位基因决定的,每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成,且两个等位基因分别来自父亲和母亲,其中AA,AO为A型血,BB,BO为B型血,AB为AB型血,OO为O型血.比如:父亲和母亲的基因型分别为AO,AB,则孩子的基因型等可能地出现AA,AB,AO,BO四种结果.已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型,不考虑基因突变,则小明是A型血的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.甲、乙两名同学进行投篮比赛,甲每次命中的概率均为0.7,乙每次命中的概率均为0.8,甲和乙是否命中互不影响,甲、乙各投篮一次,则下列结论正确的是(　　) A.两人都命中的概率为0.56　　B.恰好有一人命中的概率为0.38 C.两人都没有命中的概率为0.6　　D.至少有一人命中的概率为0.94 10.四支足球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛),任两支球队之间比赛时各自获胜的概率都是.单循环比赛结束后,以获胜的场次数作为该队的成绩,按成绩从高到低排名,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是(　　) A.四支球队并列第一名为不可能事件 B.有可能出现恰有三支球队并列第一名的情况 C.恰有两支球队并列第一名的概率为 D.只有一支球队名列第一名的概率为 11.如图,从1开始出发,一次移动是指:从某一格开始只能移动到邻近的一格,并且总是向右或向右上或右下移动,而一条移动路线由若干次移动构成,如从1移动到11:1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数字n(n=2,3,…,11)的不同路线条数记为rn,从1移动到11的事件中,跳过数字m(m=2,3,…,10)的概率记为Pm,则下列结论正确的是(　　) A.r9=34　　B.rn+1>rn　　C.P5=　　D.P9>P10 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知随机事件A,B,中,A与B相互独立,B与对立,且P(A)=0.3,P()=0.4,则P(A∪B)=　　　　.  13.甲、乙两人下围棋,若甲执黑子先下,则甲胜的概率为;若乙执黑子先下,则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局,第二局由上一局负者先下,若甲、乙比赛两局,第一局甲、乙执黑子先下是等可能的,则第一局甲胜且第二局乙胜的概率为　　　　.  14.已知正整数n,欧拉函数φ(n)(n∈N*)表示1,2,…,n中与n互质的正整数的个数,例如,φ(4)=2,φ(10)=4,且a,b互质时,φ(ab)=φ(a)·φ(b).若从1,2,…,10中随机取一个数m,则满足φ(2m)=φ(3m)的概率为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)为普及安全知识,某学校组织安全知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均需参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为,;在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为,.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响,各轮结果也互不影响. (1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大? (2)若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 16.(15分)已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个,从中任取一球,得到红球或黄球的概率是,得到黄球或蓝球的概率是. (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数; (2)设置游戏规则如下:从盒中有放回地取球两次,每次任取一球记下颜色.若取到两个球颜色相同则甲胜,否则乙胜,从概率的角度判断这个游戏是否公平,请说明理由. 17.(15分)某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入10个标有一定金额的球(除标注的金额不同外,其余均相同),其中标注的金额为100元,200元,300元的球分别有5个,3个,2个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球,记录球上标注的金额后放回袋中,连续摸n次.规定:每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当n=1时,求甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率; (2)当n=2时,设事件A=“甲员工获得的红包总金额不低于300元”,事件B=“甲员工获得的红包总金额不高于500元”,试判断事件A,B是否相互独立,并说明理由. 18.(17分)某校举办知识能力测评,共有1 000名学生参加,随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成4组:[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图: (1)用分层随机抽样的方法从分数在[80,90),[90,100]两个区间内的学生中共抽取5名学生,则分数在每个区间的学生应分别抽取多少人? (2)在(1)的条件下,该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享,求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率; (3)现需根据学生成绩制定评价标准,评定成绩较高的前60%的学生为良好,请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.(精确到1) 19.(17分)甲同学参加立定投篮训练活动.规则如下:每投中一球得1分,投不进得-1分.已知甲每次投篮的命中率为,前6次投篮全部命中,各次投篮结果相互独立. (1)求甲投完第8次球后得分依旧为6分的概率; (2)若甲最多有10次投篮机会,得分不少于7分则为优秀.为了使获得优秀的概率最大,甲选择的投篮次数应该是多少? 答案全解全析 1.D　对于A,若正方形边长为a,由面积公式可知其面积为a2,A中事件是必然事件,因此A不合题意; 对于B,真空中没有空气,在没有任何辅助情况下,人不能在真空中生存,B中事件是不可能事件,因此B不合题意; 对于C,在一个标准大气压下,只有温度达到100 ℃,水才会沸腾,当温度是80 ℃时,水不会沸腾,C中事件是不可能事件,因此C不合题意; 对于D,抛掷一枚质地均匀的硬币,可能正面向上,也可能反面向上,D中事件是随机事件,因此D符合题意. 2.A　表示“3例心脏手术全部成功”的随机数组有 569,989,共2组, 故估计“3例该种心脏手术全部成功”的概率为=0.2. 3.D　由题意可作Venn图,如图. 对于选项A,n(AB)=n(A)+n(B)-n(A∪B)=6+4-8=2, 所以P(AB)===,故A中结论正确; 对于选项B,P(A∪B)===,故B中结论正确; 对于选项C,n(B)=n(B)-n(AB)=4-2=2,所以P(B)===,故C中结论正确; 对于选项D,n(　)=n(Ω)-n(A∪B)=12-8=4,所以P(　)===,故D中结论错误. 4.C　记两个零件中恰有一个被加工为A级产品为事件M,仅甲机器加工的零件为A级产品为事件M1,仅乙机器加工的零件为A级产品为事件M2, 则P(M)=P(M1)+P(M2)=×+×=. 5.B　记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A,B,C,用x,y代表依次摸出的卡片,则样本点可用(x,y)表示, 故样本空间Ω={(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)},共9个样本点. 其中一张为“琮琮”,一张为“宸宸”的共有两种情况:(A,B),(B,A), 所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片,一张为“琮琮”,一张为“宸宸”的概率是. 6.B　不超过12的素数有2,3,5,7,11,共5个,任取两个数的情况有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共10种,其中是孪生素数的情况有(3,5),(5,7),共2种,故所求概率为=. 7.D　对于A,当第二次骰子正面向上的数字是3时,事件甲与事件乙可以同时发生,故A错误; 对于B,抛掷一枚质地均匀的骰子2次,正面向上的数字之和可能是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以乙、丙互斥但不对立,故B错误; 对于C,设事件甲,事件乙发生的概率分别为P(A),P(B),则事件甲、乙同时发生的概率为P(AB), 由已知得P(A)=,P(B)==,P(AB)=,所以P(A)P(B)≠P(AB),所以甲、乙不相互独立,故C错误; 对于D,因为事件甲与事件丙不能同时发生,所以甲、丙互斥,故D正确. 8.C　因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型,所以小明父亲的基因型可能是AA,AB,BB,它们对应的概率分别为,,. 当小明父亲的基因型是AA时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的基因型可能是AA,AB,它们对应的概率均为,则小明是A型血的概率为×=; 当小明父亲的基因型是AB时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的基因型可能是AA,AB,BB,它们对应的概率分别为,,,则小明是A型血的概率为×=; 当小明父亲的基因型是BB时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的血型不可能是A型. 所以小明是A型血的概率为+=. 9.ABD　设事件A:甲投篮一次命中,事件B:乙投篮一次命中, 则事件A,B独立,P(A)=0.7,P(B)=0.8. 对于A,P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,因此A正确; 对于B,由P(B+A)=P()P(B)+P(A)P()=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38,因此B正确; 对于C,P()=P()P()=0.3×0.2=0.06,因此C错误; 对于D,1-P()=1-0.06=0.94,因此D正确. 10.ABD　设四支足球队分别为a,b,c,d. 因为四支足球队进行单循环比赛, 所以总共进行6场比赛,比赛的结果共有26=64种. 对于A,这6场比赛中,若四支足球队在前4场比赛中各赢1场,则剩下的2场比赛中必然有两支或一支队伍获胜,那么所得成绩不可能都一样,故四支球队并列第一名是不可能事件,故A正确. 对于B,在(a,b),(b,c),(c,d),(a,d),(a,c),(b,d)这6场比赛中,依次获胜的可以是a,b,c,a,c,b,此时a,b,c三支球队所得成绩相同,并列第一名,故B正确. 对于C,在(a,b),(b,c),(c,d),(a,d),(a,c),(b,d)这6场比赛中,恰有两支球队并列第一名有6种可能,若为a,b,则分两类,第一类:a赢b,有2种情况,依次获胜的分别是a,b,c,d,a,b和a,b,d,a,c,b,同理,第二类:b赢a,也有2种情况,即若a,b并列第一名,则有4种情况.故恰有两支球队并列第一名的概率为6×=,故C错误. 对于D,在四支球队中选一支球队为第一名有4种可能,此时这支球队比赛的3场都胜,另外3场比赛有23=8种结果,故只有一支球队名列第一名的概率为×4=,故D正确. 11.ABC　由题意可知r2=1,r3=2,且rn+1=rn+rn-1(n≥3), 则r4=3,r5=5,r6=8,r7=13,r8=21,r9=34,r10=55,r11=89,因此A正确; 显然rn>0,由rn+1-rn=rn-1>0得rn+1>rn,因此B正确; 如图, 则1→5的路线共有5条,5→11的路线共有13条, 所以从1移动到11,且过数字5的路线共有5×13=65条,又r11=89,所以P5==,因此C正确; 同理可得P9==,P10==,即有P9<P10,因此D错误. 12.答案　0.72 解析　由B与为对立事件,得P(B)=1-P()=0.6, 又A与B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.6=0.18, 所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.6-0.18=0.72. 13.答案　 解析　比赛结果为第一局甲胜且第二局乙胜,则第二局为乙执黑子先下,在第一局中谁执黑子先下需要分类讨论. 若第一局甲执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为; 若第一局乙执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为. 因为第一局甲、乙执黑子先下是等可能的,所以所求概率为××+××=. 14.答案　 解析　当m=1时,φ(2)=1,φ(3)=2,此时φ(2m)≠φ(3m); 当m=2时,φ(4)=2,φ(6)=2,此时φ(2m)=φ(3m); 当m=3时,φ(6)=2,φ(9)=6,此时φ(2m)≠φ(3m); 当m=4时,φ(8)=4,φ(12)=φ(3)φ(4)=4,此时φ(2m)=φ(3m); 当m=5时,φ(10)=4,φ(15)=φ(3)φ(5)=2×4=8,此时φ(2m)≠φ(3m); 当m=6时,φ(12)=4,φ(18)=φ(2)φ(9)=6,此时φ(2m)≠φ(3m); 当m=7时,φ(14)=φ(2)φ(7)=6,φ(21)=φ(3)φ(7)=12,此时φ(2m)≠φ(3m); 当m=8时,φ(16)=8,φ(24)=φ(3)φ(8)=8,此时φ(2m)=φ(3m); 当m=9时,φ(18)=6,φ(27)=18,此时φ(2m)≠φ(3m); 当m=10时,φ(20)=φ(4)φ(5)=8,φ(30)=φ(5)φ(6)=8,此时φ(2m)=φ(3m). 所以从1,2,…,10中随机取一个数m,则满足φ(2m)=φ(3m)的数m的取值集合为{2,4,8,10},因此所求概率为=. 15.解析　(1)设A1=“甲在第一轮比赛中胜出”,A2=“甲在第二轮比赛中胜出”,B1=“乙在第一轮比赛中胜出”,B2=“乙在第二轮比赛中胜出”,A=“甲赢得比赛”,B=“乙赢得比赛”.(2分) 则P(A1)=,P(A2)=,P(B1)=,P(B2)=, ∴P(A)=P(A1)P(A2)=×=,(4分) P(B)=P(B1)P(B2)=×=.(6分) ∵>,∴派甲参赛赢得比赛的概率更大.(7分) (2)由(1)知A∪B=“两人中至少有一人赢得比赛”.(8分) 易得P()=1-P(A)=1-=,P()=1-P(B)=1-=,(10分) ∴P(A∪B)=1-P()P()=1-×=.(13分) 16.解析　(1)设盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为x,y,z,从中任取一球,得到红球或黄球为事件A,得到黄球或蓝球为事件B,则P(A)=,P(B)=,(3分) 由已知得解得(6分) 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,1,1.(7分) (2)由(1)知红球、黄球、蓝球的个数分别为2,1,1, 用r1,r2表示这两个红球,用a表示黄球,用b表示蓝球,(8分) 则样本空间Ω={(r1,r1),(r1,r2),(r1,a),(r1,b),(r2,r1),(r2,r2),(r2,a),(r2,b),(a,r1),(a,r2),(a,a),(a,b),(b,r1),(b,r2),(b,a),(b,b)},共16个样本点.(10分) 记“取到两个球颜色相同”为事件M,“取到两个球颜色不相同”为事件N, 则n(M)=6,所以P(M)==,(12分) 所以P(N)=1-P(M)=1-=,(14分) 因为>,所以此游戏不公平.(15分) 17.解析　(1)因为n=1,所以只摸1次球,红包总金额不高于200元即为100元或200元,(2分) 从袋中随机摸出1个球,对应的红包金额为100元的概率为,为200元的概率为,(4分) 故甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率为+=.(5分) (2)当n=2时,AB=“甲员工获得的红包总金额为300元或400元或500元”,(6分) 因为300=100+200=200+100,400=200+200=100+300=300+100, 500=200+300=300+200,(8分) 所以P(AB)=×+×+×+×+×+×+×=.(10分) 事件A的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为200元”, 因为200=100+100,所以P(A)=1-=;(12分) 事件B的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为600元”, 因为600=300+300,所以P(B)=1-=,(14分) 所以P(A)P(B)=×=≠=P(AB), 所以事件A,B不相互独立.(15分) 18.解析　(1)设从分数在区间[80,90)内的学生中抽取x人,从分数在区间[90,100]内的学生中抽取y人, 样本中成绩在[80,90)内的学生人数为0.045×10×100=45,成绩在[90,100]内的学生人数为0.03×10×100=30,(2分) 所以==,解得x=3,y=2, 所以从分数在区间[80,90)内的学生中抽取3人,从分数在区间[90,100]内的学生中抽取2人.(4分) (2)结合(1),不妨记分数在区间[80,90)内的3人为a,b,c,在区间[90,100]内的2人为m,n,(5分) 则从中抽取2名学生(注意分先后)的情况有ab,ac,am,an,ba,bc,bm,bn,ca,cb,cm,cn,ma,mb,mc,mn,na,nb,nc,nm,共20种,(7分) 其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]内(记为事件A)的情况有am,an,bm,bn,cm,cn,mn,nm,共8种,(9分) 故P(A)==,即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]内的概率为.(11分) (3)由频率分布直方图得成绩落在[90,100]内的频率为0.03×10=0.3,落在[80,100]内的频率为0.045×10+0.3=0.75, 所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)内,(13分) 不妨记为x0,故(90-x0)×0.045+0.3=0.6,(15分) 解得x0≈83, 所以成绩良好的最低分数线约为83.(17分) 19.解析　记Ai=“接下来第i次投中”,则Ai相互独立,且P(Ai)=(i=1,2,3,4).(2分) (1)依题意,设B=“甲投完第8次球后得分为6分”,(点拨:后2次投篮恰好投中1次) 则B=A1∪A2,且A1与A2互斥,(4分) 因此P(B)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=×+×=.(6分) (2)记C=“甲再投1次即为优秀”,则C=A1,因此P(C)=P(A1)=;(8分) 记D=“甲再投2次即为优秀”,则D=A1A2, 因此P(D)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)==;(10分) 记E=“甲再投3次即为优秀”, 事件分析:甲再投篮3次3中:A1A2A3,2中:A1A2、A1A3、A2A3 则E=A1A2A3∪A1A2∪A1A3∪A2A3, 则P(E)=P(A1A2A3∪A1A2∪A1A3∪A2A3) =P(A1A2A3)+P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=+3×=;(13分) 记F=“甲再投4次即为优秀”, 事件分析:甲再投篮4次4中:A1A2A3A4,3中:A1A2A3、A1A2A4、A1A3A4、A2A3A4 则F=A1A2A3A4∪A1A2A3∪A1A2A4∪A1A3A4∪A2A3A4, 则P(F)=P(A1A2A3A4∪A1A2A3∪A1A2A4∪A1A3A4∪A2A3A4)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)=+4×=.(16分) 综上,P(C)=P(E)>P(F)>P(D),因此应该选择投篮7次或9次.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $