精品解析：浙江省温州市苍南中学2023-2024学年高一上学期数学家摇篮竞赛试题

2023年苍南中学高一数学家摇篮竞赛 满分：120分考试 时间：90分钟 一､单选题 1. 若一系列函数解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么，函数解析式为，值域为的同族函数共有（ ）个. A 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设.则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的偶函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 5. 已知函数的值域与函数的定义域相同，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足： （1）对任意、，，都有； （2）对任意，都有.则的值是. A. 17 B. 21 C. 25 D. 29 二､多选题 7. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（    ） A. 的对称轴为直线 B. 的对称轴为直线 C. D. 不等式解集为 8. 下列说法正确的有（    ） A. 已知，则的最小值为 B. 若正数x、y满足，则的最小值为9 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3 D. 设x、y为实数，若，则的最大值为 9. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的说法错误的是（ ） A. 对任意实数， B. 既不是奇函数又不是偶函数 C. 对于任意的实数，， D. 若，则不等式的解集为 10. 已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.若 恒成立，则实数的取值可能是（ ） A. -1 B. C. D. 1 三､填空题 11. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为______ 12. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数取值范围__________. 13. 若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在R上的奇函数，当时，．那么当时，______；求函数在上的“倒值区间”为______． 14. 设，对函数，其中表示不超过的最大整数，其值域是_______. 四､解答题 15. 已知函数幂函数，且在上单调递增. （1）求的值，并写出的解析式； （2）解关于的不等式 ，其中. 16. 中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? （2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 17. 已知函数，定义域为． （1）写出函数的奇偶性（无需证明），判断并用定义法证明函数在上的单调性； （2）若，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）解不等式． 18. 设函数（a≠0）满足，，，求当时的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年苍南中学高一数学家摇篮竞赛 满分：120分考试 时间：90分钟 一､单选题 1. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么，函数解析式为，值域为的同族函数共有（ ）个. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】. 选C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，不等式可化为，即，解得， 即不等式的解集为， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3. 设.则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，于是， . 上式等号在，即，亦即时成立. 所以，的最大值为. 故答案为D 4.