专题检测14 立体几何与空间向量的综合问题(大题突破)（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(十四)　立体几何与空间向量的综合问题(大题突破) 1．(2023·福建漳州二模)如图1，在直角梯形BCDE中，BC∥DE，BC⊥CD，A为DE的中点，且DE＝2BC＝4，BE＝2.将△ABE沿AB折起，使得点E到达P处(P与D不重合)，记PD的中点为M，如图2. (1)在折叠过程中，PB是否始终与平面ACM平行？请说明理由． (2)当四棱锥P­ABCD的体积最大时，求CD与平面ACM所成角的正弦值． 解：(1)在折叠过程中，PB始终与平面ACM平行． 理由如下： 由已知条件，可得AB⊥DE，DE＝2BC＝4，BE＝2， 所以AB＝2，即四边形ABCD为正方形． 连接BD与AC交于点N，连接MN(图略). 又M为PD的中点，N为AC的中点，所以MN∥PB. 因为PB⊄平面ACM，MN⊂平面ACM， 所以PB∥平面ACM. (2)要使四棱锥P­ABCD的体积最大，只需点P到平面ABCD的距离最大，即PA⊥平面ABCD.以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，M(0，1，1)， 所以＝(2，2，0)，＝(0，1，1)，＝(2，0，0). 设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝－1，得x＝z＝1，则n＝(1，－1，1). 设CD与平面ACM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝. 所以CD与平面ACM所成角的正弦值为. 2．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是棱PC的中点． (1)求证：PB∥平面AEC； (2)若四边形ABCD为正方形，在什么条件下，平面CAF和平面AFD的夹角大小为60°？ (1)证明：连接BD，设AC∩BD＝O，连接OE(图略). 因为四边形ABCD为矩形，所以O是BD的中点． 因为E是棱PD的中点，所以PB∥EO. 又因为PB⊄平面AEC，EO⊂平面AEC， 所以PB∥平面AEC. (2)解：由题意知AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.连接FD. 设AB＝AD＝2a，AP＝2c，则A(0，0，0)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2c)，F(a，a，c). 设平面CAF的一个法向量为n＝(x，1，0)， 而＝(2a，2a，0)，所以·n＝2ax＋2a＝0，得x＝－1，所以n＝(－1，1，0). 设平面DAF的一个法向量为m＝(1，0，z)， 而＝(a，a，c)，所以·m＝a＋cz＝0，得z＝－，所以m＝(1，0，－). 所以cos 60°＝＝＝，得a＝c. 即当AP等于正方形ABCD的边长时，平面CAF和平面AFD的夹角大小为60°. 3．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．在如图所示的一块木料中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E，F是PC，AD的中点． (1)若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？请说明理由并计算截面周长； (2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？请说明理由． 解：(1)因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD. 设平面ABE∩平面PCD＝l，因为AB⊂平面ABE，所以AB∥l. 设PD的中点为G，连接EG，AG，则EG∥CD. 又AB∥CD，所以AB∥EG， 即EG为l，BE，EG，AG就是应画的线． 因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥PA. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD.又AG⊂平面PAD，所以AB⊥AG，即截面ABEG为直角梯形． 又PA＝AB＝AD＝2， 所以AG＝，EG＝1，BE＝＝， 所以，截面周长为＋＋3. (2)以A为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)，F(0，1，0). 所以＝(－1，1，1)，＝(－2，1，0)，＝(0，2，－2). 设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则n＝(1，2，－1). 设PD∩平面BEF＝H，设＝λ＝λ(0，2，－2). 又P(0，0，2)，所以H(0，2λ，2－2λ)，＝(－2，2λ，2－2λ). 由·n＝(－2，2λ，2－2λ)·