专题检测13 空间角与空间距离(大题突破)（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(十三)　空间角与空间距离(大题突破) 1．(2023·江苏南通模拟)如图，在多面体ABCDE中，已知平面AEC⊥平面ABC，△AEC是边长为2的正三角形，AB⊥BC，∠CAB＝∠CAE，四边形ABDE为平行四边形． (1)求多面体ABCDE的体积； (2)求直线AD与平面CDE所成角的正弦值． 解：(1)取AC中点为O，连接OE，BE(图略). 因为△AEC是边长为2的正三角形，所以OE⊥AC，且OE＝＝. 因为AB⊥BC，∠CAB＝∠CAE，所以AB＝1，BC＝. 又平面AEC⊥平面ABC，且平面AEC∩平面ABC＝AC，OE⊂平面AEC， 所以OE⊥平面ABC， 所以VC­ABDE＝2VC­ABE＝2VE­ABC＝2·S△ABC·OE＝××1×＝1. (2)作Bz∥OE，建立空间直角坐标系如图所示， 则A(0，1，0)，C(，0，0)，E(，，)，B(0，0，0). 由四边形ABDE为平行四边形得＝，所以D(，－，)，所以＝(，－，)，＝(，，－)，＝(0，1，0). 设平面CDE的一个法向量n＝(x，y，z)， 则即 所以可取n＝(2，0，1). 设直线AD与平面CDE所成角为θ， 所以sin θ＝＝＝. 2．(2023·山东德州一模)如图，在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，△VBC为等边三角形． (1)求证：BC⊥VD； (2)若二面角A­BC­V的大小为60°，求直线VA与平面VBC所成角的正弦值． (1)证明：取BC中点E，连接BD，DE，VE(图略). 因为ABCD为菱形且∠BAD＝60°， 所以△BCD为等边三角形，故DE⊥BC. 在等边三角形VBC中，VE⊥BC，DE∩VE＝E，DE，VE⊂平面DEV，所以BC⊥平面DEV. 因为VD⊂平面DEV，所以BC⊥VD. (2)解：由VE⊥BC，DE⊥BC，可得∠DEV就是二面角A­BC­V的平面角，所以∠DEV＝60°. 在△DEV中，VE＝DE＝， 所以△DEV为边长为的等边三角形． 由(1)可知，平面DEV⊥平面ABCD，取DE中点O，以O为坐标原点，以，，所在的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz. 在△VOE中，OE＝，OV＝，可得A(2，－，0)，B(1，，0)，C(－1，，0)，V(0，0，). 故＝(2，0，0)，＝(1，－，)，＝(－2，，). 设n＝(x，y，z)为平面VBC的一个法向量， 则有 令y＝，则z＝1，得n＝(0，，1). 设直线VA与平面VBC所成角为θ， 则有sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝. 故直线VA与平面VBC所成角的正弦值为. 3．如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的棱长均为2，∠A1AC＝60°，A1B＝. (1)求证：平面A1ACC1⊥平面ABC； (2)设M为侧棱CC1上的点，若平面A1BM与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线A1B1的距离． (1)证明：如图，取AC的中点O，连接A1O，BO，∠A1AC＝60°，A1A＝2，AO＝1， 所以A1O＝，A1O⊥AC. 由条件可知，△ABC是边长为2的等边三角形， 所以BO＝. 由A1B＝，且A1B2＝ A1O2＋ BO2， 可得A1O⊥BO. 又AC∩BO＝O，AC，BO⊂平面ABC，所以A1O⊥平面ABC. 因为A1O⊂平面A1ACC1， 所以平面A1ACC1⊥平面ABC. (2)解：以O为原点，以OA，OB，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B (0，，0)，C(－1，0，0)，C1(－2，0，)，A1(0，0，).所以1＝(0，－，)，＝(－1，－，0)，＝(－1，0，). 设＝λ(0≤λ≤1)， 可得M(－λ－1，0，λ)，＝(－1－λ，－，λ). 设平面A1BM的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则 即 取y＝λ＋1，z＝λ＋1，x＝(λ－1)，所以m＝ ((λ－1)，λ＋1，λ＋1). 因为＝(0，0，)为平面ABC的一个法向量， 设平面A1BM与平面ABC夹角为θ， 所以cos θ＝＝ ＝. 解得λ＝或λ＝5(舍去).所以M(－，0，). 所以＝(，0，)，＝＝(1，－，0)，＝， 所以点M到直线A1B1的距离 d＝＝. 4．(2023·山东潍坊二模)如图，圆台O1O2上底面半径为1，下底面半径为，AB为圆台下底面的一条直径，圆O2上点C满足AC＝BC，PO1是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面ABO1的同侧，且PO1∥BC. (1)求证：O1O2∥平面PAC； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求直线AO1与平面PBC所成角的正弦值． 条件①：三棱锥O1­ABC的体积为；条件②：AO1与圆台底