专题检测12 空间点、线、面的位置关系(小题专攻)（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(十二)　空间点、线、面的位置关系(小题专攻) A级　小题提速练 1．(2023·山东泰安一模)已知m，n是两条不重合的直线，α是一个平面，n⊂α，则“m⊥α”是“m⊥n”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：若m⊥α，n⊂α，则m⊥n成立，即充分性成立；根据线面垂直的判定定理，m必须垂直平面α内的两条相交直线，才有m⊥α，即必要性不成立．故“m⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件． 2．(2023·河北保定一模)设α，β是两个不同的平面，则“α内有无数条直线与β平行”是“α∥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD. 在平面ABB1A1内，除直线AB外，其他所有与A1B1平行的直线，都与平面ABCD平行，但是平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故充分性不成立；根据面面平行的定义可知，若α∥β，则平面α内的所有直线都与平面β平行，故必要性成立．所以“α内有无数条直线与β平行”是“α∥β”的必要不充分条件． 3．(2023·江苏模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值为(　　) A．1 B． C． D． C　解析：如图，连接BD， 因为DD1⊥平面ABCD，所以∠DBD1是直线BD1与平面ABCD所成角．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DB＝. 所以tan ∠DBD1＝＝. 4．(多选)如图，在正方体中，O为下底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是(　　) BC　解析：方法一　对于选项A，B，C，D中的正方体建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体棱长为2.对于选项A，O(1，1，0)，P(0，2，1)，M(2，0，2)，N(0，2，2)，所以＝(－2，2，0)，＝(－1，1，1).因为·＝4≠0，故选项A中的直线OP不满足MN⊥OP.同理，可得出选项B和选项C中，·＝0，即MN⊥OP.选项D中，·＝－4，不满足条件．故选BC. 方法二　直线OP向直线MN所在的平面投影，选项BC中的投影与直线MN垂直，故选BC. 5．(2023·山东东营二模)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN(　　) A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 D　解析：如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E，连接DE. 当MD＝NE时，一定有DD1⊥MN.理由如下：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，所以四边形MDEN为平行四边形，所以MN∥DE.因为DD1⊥平面ABCD，且DE⊂平面ABCD，所以DD1⊥DE，即DD1⊥MN.所以MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，此时满足条件的直线MN有无数条. 6．(2023·福建泉州模拟)已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S，体积为V，则当取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． A　解析：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，则l＝2，h＝＝，所以V＝πr2h＝πr2，S＝πrl＝2πr.于是＝＝r≤×＝(当且仅当r＝，即r＝时取等号).此时l＝2，r＝.由线面角的定义，得所求的母线与底面所成角的正弦值为. 7．已知①②两个命题，①⇒l∥α；②⇒l∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l，m为直线，α为平面)，则此条件为________． l⊄α　解析：①②由线面平行的判定定理知l⊄α. 8．在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V­AB­C的大小为________． 60°　解析：如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB. 取AB的中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB.因为VH∩VO＝V，VH，VO⊂平面VHO，所以AB⊥平面VHO，因为OH⊂平面VHO，所以AB⊥OH，所以∠VHO为二面角V­AB­C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝4，所以VH＝2.而OH＝BC＝1，所以∠VHO＝60°.故二面角V­AB­C的大小是60°. B级　小题保分练 9．(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有(　　) A．F为AA1的中点 B．F为BB1的中点 C．F为CC1的中点 D．F为A1D1的中点 ACD　解析：如图，设M，G，H，I，J分别是