专题检测10 概率与统计综合应用（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(十)　概率与统计综合应用 1．(2023·山东聊城二模)随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来越大，为了满足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱．某水果店对某品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价x/元 3 4 5 6 7 产品销量y/件 20 16 15 12 6 (1)经计算相关系数r≈－0.97，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程； (2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”．现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”的个数X的分布列和数学期望． 参考公式：经验回归方程＝x＋中，的最小二乘估计公式为＝，＝－. 解：(1)由已知，得＝＝5，＝＝13.8，iyi＝313，＝135，则＝＝＝＝－＝－3.2，所以＝－＝13.8－(－3.2)×5＝29.8， 所以＝－3.2x＋29.8. (2)当x＝3时，＝20.2；当x＝4时，＝17； 当x＝5时，＝13.8； 当x＝6时，＝10.6；当x＝7时，＝7.4. 因此该样本的残差绝对值依次为0.2，1，1.2，1.4，1.4， 所以“次数据”有2个．“次数据”的个数X可取0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 则数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 2．为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费．A商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球．具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖． (1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折．记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ)； (2)某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量η为获得7折及以下资格的人数，求P(η＝2). 解：(1)设事件Ai为“从甲盒中取出i个红球”，事件Bj为“从乙盒中取出j个红球”， 则P(Ai)＝(i＝0，1)，P(Bj)＝(j＝0，1，2). 记X为取出的4个球中红球的个数， 则P(X＝0)＝P(A0B0)＝·＝，P(X＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝·＋·＝，P(X＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＝·＋·＝，P(X＝3)＝P(A1B2)＝·＝. 由题意得ξ的分布列为 ξ 5折 7折 8折 9折 P 则E(ξ)＝5×＋7×＋8×＋9×＝. (2)由(1)可知，获得7折及以下资格的概率为＋＝. 由题意得η～B(3，)， 则P(η＝2)＝C()2(1－)＝. 3．(2023·山东济南一模)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩xi/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算(xi－)2＝1 690，＝33 050. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值．若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y). 附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)＝×(38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋80)＝56. (2)因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3.因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (3)因为＝56，s2＝(xi－)2＝×1 690＝169， 所以μ＝56