专题检测06 解三角形的综合应用（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(六)　解三角形的综合应用 1．(2023·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值； (3)求sin (B－C)的值． 解：(1)由正弦定理＝，得＝， 解得sin B＝. (2)方法一　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即39＝4＋c2－4c cos 120°， 整理得c2＋2c－35＝0， 解得c＝5或c＝－7(舍去). 所以c＝5. 方法二　因为A＝120°，所以B，C均为锐角， 所以cos B＝＝. 由射影定理得，c＝a cosB＋b cos A＝×＋2×(－)＝6－1＝5. (3)由正弦定理＝，可得sin C＝， 又B，C均为锐角，所以cos C＝＝，cosB＝＝， 所以sin (B－C)＝sin B cos C－cos B sin C＝×－×＝－. 2．(2023·河北邯郸二模)已知函数f(x)＝sin 2ωx－2cos2ωx＋2(ω∈N*)在(π，)上单调． (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝3，f()＝2，求△ABC周长的最大值． 解：(1)由题意可得f(x)＝sin2ωx－cos 2ωx＋1＝2sin (2ωx－)＋1. 因为f(x)在(π，)上单调，所以×≥－π， 解得－≤ω≤. 因为ω∈N*，所以ω＝1， 即f(x)＝2sin (2x－)＋1. 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 即f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋] (k∈Z). (2)因为f()＝2，所以2sin (A－)＋1＝2， 所以sin (A－)＝. 因为0<A<π，所以－<A－<，所以A＝. 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即b2＋c2－bc＝9，即3bc＝(b＋c)2－9. 因为bc≤()2，当且仅当b＝c时，等号成立， 所以≥(b＋c)2－9，解得b＋c≤6， 所以a＋b＋c≤9，即△ABC周长的最大值为9. 3．(2023·福建莆田二模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，D为AB的中点，且CD＝. (1)求证：c＝b； (2)若∠ACB＝，求△ABC的面积． (1)证明：如图， 在△ACD中，由余弦定理可知 cos ∠ADC＝＝. 在△BCD中，由余弦定理可知 cos ∠BDC＝＝＝. 因为∠ADC＋∠BDC ＝π，所以cos ∠ADC＋cos ∠BDC ＝0， 则＋＝0，化简可得＝b2， 所以c＝b. (2)解：由(1)可知c＝b，因为∠ACB＝， 在△ABC中，由余弦定理可知 cos ∠ACB＝＝＝. 整理可得b2＋2b－4＝0，解得b＝－＋(负值舍去). 所以S△ABC＝ab sin ∠ACB＝×2×(－＋)×＝－1＋. 4．(2023·山东菏泽一模)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝θ(0<θ<π)，AB＝BC＝CD＝1，AC⊥CD. (1)试用θ表示BD的长； (2)求AC2＋BD2的最大值． 解：(1)因为∠ABC＝θ(0<θ<π)，AB＝BC＝CD＝1，AC⊥CD， 所以∠BCA＝－. 所以∠BCD＝＋∠BCA＝＋(－)＝π－， 在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD＝2＋2cos ＝2(1＋2 cos2－1)＝4cos2. 因为0<θ<π，所以cos >0，所以BD＝2cos . (2)在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝2－2cos θ， 所以AC2＋BD2＝2－2cos θ＋2＋2cos ＝－4cos2＋2cos＋6＝－4(cos －)2＋. 因为0<θ<π，所以0<cos <1，则当cos ＝时，AC2＋BD2取到最大值. 故AC2＋BD2的最大值是. 5．(2023·广东深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy中，锐角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的纵坐标为，点Q的横坐标为. (1)求cos (α－β)的值； (2)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分． ①若C＝α－β，且c＝2，求△ABC周长的最大值； ②若A＝α，B＝β，且c＝11，求△ABC的面积． 解：(1)因为α，β是锐角，所以点P，Q在第一象限． 又因为点P，Q在单位圆上，点P的纵坐标为，点Q的横坐标为，所以sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝＝，sin β＝＝， 故cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. (2)选①：由(1