专题检测05 解三角形的基本运用（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(五)　解三角形的基本运用 1．(2023·江苏南通二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin C＝sin A sin B. (1)若A＝，求cos B； (2)若c＝，求△ABC的面积． 解：(1)在△ABC中，A＝，所以C＝π－(A＋B)＝－B. 因为sin C＝sin A sin B，所以sin (－B)＝sin B， 所以cos B＋sin B＝sin B，即sin B＝ cos B．(*) 又sin 2B＋cos 2B＝1， 所以(cos B)2＋cos2B＝1，即cos2B＝. 又B∈(0，π)，所以sinB>0. 由(*)知，cos B>0，所以cos B＝. (2)因为sin C＝sin A sin B，由正弦定理，得c＝a sin B. 又c＝，所以a sin B＝. 所以△ABC的面积为S＝ac sin B＝××＝. 2．(2023·江苏无锡模拟)已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D. (1)用正弦定理证明＝； (2)若∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，求BD. (1)证明：在△ABD和△ACD中，分别由正弦定理可得， 因为sin ∠ADB＝sin (π－∠ADC)＝sin ∠ADC，AD平分∠BAC⇒∠BAD＝∠CAD， 所以⇒＝. (2)解：因为AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°， 所以BC＝＝. 因为AD平分∠BAC，由(1)知＝＝2，所以BD＝BC＝. 3．(2023·江苏扬州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin B＝b cos A＋b. (1)求A； (2)若c＝2，＝，求sin C. 解：(1)在△ABC中，由a sin B＝b cos A＋b及正弦定理得sin A sin B＝sin B cos A＋sin B．而sin B≠0， 则sin A＝cos A＋1，即sin A－cos A＝1， 整理得sin (A－)＝. 又－<A－<，则A－＝，所以A＝. (2)由正弦定理＝，得b＝. 而＝，则－1＝cos C， 即2sin B－sin C＝sin C cos C. 而B＝－C， 因此2sin (－C)－sin C＝sin C cos C， 整理得cos C＝sin C cos C. 显然cos C≠0，解得sin C＝. 4．(2023·湖南常德二模)在△ABC中，＝，B＝，BC边的中线AM＝. (1)求A； (2)求△ABC的面积． 解：(1)因为＝， 所以由正弦定理可得＝， 2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin B. 因为sin B≠0，所以cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为B＝，A＝，C＝π－A－B＝，所以△ABC为等腰三角形，且AC＝BC. 在△AMC中，由余弦定理可得AM2＝AC2＋MC2－2AC·MC cos ， 即7＝b2＋()2－2×b××cos ，解得b＝2. 所以△ABC的面积为S＝b2sin C＝×22×＝. 5．(2023·广东广州二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos2＋c cos2＝b. (1)求证：sinA＋sin C＝2sin B； (2)若b＝2，·＝3，求△ABC的面积． (1)证明：因为a cos2＋c cos2＝b， 所以＝b，即a＋c＋a cos C＋c cos A＝3b. 由正弦定理得3sin B＝sin A＋sin C＋(sin A cos C＋cos A sin C)＝sin A＋sin C＋sin (A＋C)＝sin A＋sin C＋sin (π－B)＝sin A＋sin C＋sin B. 因此，sin A＋sin C＝2sin B. (2)解：因为sin A＋sin C＝2sin B，所以a＋c＝2b＝4.① 由平面向量数量积的定义，可得·＝bc cos A＝3， 所以bc·＝＝3，所以c2－a2＝2，即(c－a)(c＋a)＝4(c－a)＝2，所以c－a＝，② 联立①②可得c＝，a＝， 所以cos A＝＝＝.由此知A为锐角，且sin A＝＝＝. 因此S△ABC＝bc sin A＝×2××＝. 6．(2023·山东聊城模拟)在四边形ABCD中，AB∥CD. (1)求证：AD·sin ∠BAD＝BC·sin ∠BCD； (2)若AD＝1，AB＝3，BC＝，∠BAD＝2∠BCD，求△BCD外接圆的面积． (1)证明：因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC. 在△ABD中，由正弦定理，得＝； 在△BCD中，由正弦定理，得＝.所以AD·sin ∠BAD＝BD·sin ∠ABD，BC·sin ∠BCD＝BD·sin ∠BDC. 故AD·