专题检测04 三角恒等变换与解三角形(小题专攻)（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(四)　三角恒等变换与解三角形(小题专攻) A级　小题提速练 1．如图，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，点P是角α终边上的一点，则cos 2α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　解析：由题意可得P(－1，2)，x＝－1，y＝2，r＝|OP|＝，故cos α＝＝＝－ ，所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.故选C. 2．(2023·广东佛山一中模拟)已知sin α＝，α为钝角，tan (α－β)＝，则tan β＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 B　解析：因为sin α＝，且α为钝角，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－，所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝＝－1.故选B. 3．(2023·山东济宁一模)已知sin (α＋)＝，则sin(2α－)＝(　　) A．－ B． C．－ D． C　解析：sin (2α－)＝sin [2(α＋)－]＝－cos 2(α＋)＝－[1－2sin2(α＋)]＝－1＋2×＝－.故选C. 4．(2023·湖南师大附中一模)已知＝2，则tan θ＝(　　) A． B．－ C．－ D． C　解析：＝＝＝tan ＝2，故tan θ＝＝＝－.故选C. 5．(2023·广西柳州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知B＝60°，b＝4，则△ABC面积的最大值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　解析：由余弦定理可得16＝b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，即ac≤16，当且仅当a＝c＝4时，等号成立，故S△ABC＝ac sin B＝ac≤×16＝4.所以△ABC面积的最大值为4.故选B. 6．(2023·湖南长沙模拟)在锐角△ABC中，C＝，AC＝4，则BC的取值范围是(　　) A．(0，) B．(2，) C．(2，＋∞) D．(4，) B　解析：由正弦定理得＝＝，所以BC＝＝＝.因为C＝，且△ABC为锐角三角形，所以<A<，所以tan A>，所以∈(0，)，即BC∈(2，).故选B. 7．(2023·广东揭阳模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且6a＝5c＋6b cos C，则cos B＝(　　) A． B． C． D． B　解析：由6a＝5c＋6b cos C，得6sin A＝5sin C＋6sin B cos C．又sin A＝sin (B＋C)，所以6sin (B＋C)＝5sin C ＋6sin B cos C，展开得6sin B cos C＋6cos B sin C＝5sin C ＋6 sin B cos C， 所以6cos B sin C＝5sin C．因为sin C≠0，所以cos B＝.故选B. 8．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950 m，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1 000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60 m，BC＝60 m，CD＝40 m，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°.据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1 m)(　　) (参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646) A．39 m B．43 m C．49 m D．53 m D　解析：连接AC，AD(图略).在△ACB中，AB＝60 m，BC＝60 m，∠ABC＝60°，所以△ACB为等边三角形，所以AC＝60 m，∠ACB＝60°.在△CDA中，∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝60°，则AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ∠ACD＝602＋402－2×60×40×＝2 800，所以AD＝20≈53 (m).故选D. 9．(2023·福建福州二模)若cos α＝－，α是第三象限角，则tan 2α＝________． －　解析：因为cos α＝－，且α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以tan α＝＝，所以tan 2α＝＝＝－. 10．(2023·广东江门二模)已知θ∈(－，0)，cos 2θ＝，则sin θ的值为________． －　解析：因为cos 2θ＝，所以1－2sin2θ＝，即sin2θ＝.又θ∈(－，0)，所以sinθ＝－. 11．(2023·广东梅州二模)在平面直角坐标系中，点A(2，1)绕着原点O顺时针旋转60° 得到点B，点B的横坐标为________． 1＋　解析：由题意得|OA|＝＝.设OA与x轴正半轴的夹角为α，则sin α＝，cos α＝，