专题检测02 数列及其综合问题(大题突破)（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(二)　数列及其综合问题(大题突破) 1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d，则， 解得a1＝13，d＝－2. 所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n. (2)由(1)得|an|＝. 当1≤n≤7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2， 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2. 综上，Tn＝. 2．(2023·江苏扬州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝an＋1－2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝log2an.①cn＝bn·an；②cn＝；③cn＝(－1)n(bn)2，从上面三个条件中任选一个，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)因为Sn＝an＋1－2，所以Sn－1＝an－2(n≥2). 两式相减得an＋1＝2an (n≥2). 因为a1＝2，a2＝4，所以a2＝2a1， 所以an＋1＝2an (n∈N*). 因为a1＝2≠0，所以＝2(n∈N*)， 所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝2n. (2)由(1)可知bn＝log2an＝log22n＝n. 若选①：cn＝bn·an＝n·2n， 所以Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1. 两式相减得 －Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1， 所以Tn＝(n－1)·2n+1＋2. 若选②： cn＝＝＝＝(－)， Tn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝(1－)＝. 若选③：cn＝(－1)n(bn)2＝(－1)n·n2. 当n为偶数时， Tn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(n－1)2＋n2]＝1＋2＋…＋n＝. 当n为奇数时， Tn＝Tn＋1－cn＋1＝－(n＋1)2＝－. 综上可得Tn＝ (－1)n(n∈N*). 3．(2023·湖南常德二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＋2n＝3an(n∈N*). (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝nan＋n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)2Sn＋2n＝3an(n∈N*)，① 当n＝1时，2S1＋2＝3a1，所以a1＝2； 当n≥2时，2Sn－1＋2(n－1)＝3an－1.② ①－②得2Sn＋2n－2Sn－1－2(n－1)＝3an－3an－1， 即2an＋2＝3an－3an－1，则an＝3an－1＋2， 所以an＋1＝3(an－1＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1. (2)因为bn＝nan＋n，所以bn＝n(3n－1)＋n＝n×3n， 所以Tn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③ 3Tn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n+1.④ ③－④得－2Tn ＝1×31＋1×32＋1×33＋…＋1×3n－n×3n+1＝－n×3n+1＝×3n+1－－n×3n+1＝(－n)×3n+1－， 所以Tn＝(－)×3n+1＋. 4．(2023·山东威海一模)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，且2Sn＝a＋an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记cn＝(－1)nanan＋1，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)由2Sn＝a＋an，得当n≥2时，2Sn－1＝a＋an－1. 两式相减，得2an＝a－a＋an－an－1， 整理得an＋an－1＝(an＋an－1)(an－an－1) . 因为an>0，所以an＋an－1>0， 所以an－an－1＝1(n≥2)， 所以数列{an}是以1为公差的等差数列． 在2Sn＝a＋an中，令n＝1，解得a1＝1，所以an＝1＋(n－1)＝n. (2)当n＝2k(k∈N*)时，Tn＝－a1a2＋a2a3－a3a4＋ a4a5－a5a6＋…＋a2k－2a2k－1－a2k－1a2k＋ a2ka2k＋1＝2(a2＋a4＋…＋a2k). 又a2，a4，…，a2k是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a2＋a4＋…＋a2k ＝＝k2＋k， 所以T2k＝2k2＋2k，所以Tn＝. 当n＝2k＋1(k∈N*)时，Tn＝－a1a2＋a2a3－a3a4＋ a4a5－a5a6＋…＋a2k－2a2k－1－a2k－1a2k＋ a2ka2k＋1－a2ka2k＋1＝2(a2＋a4＋…＋a2k)－a2k＋1a2k＋