小题强化04 平面向量（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

小题强化(四)　平面向量 1．(2023·广东佛山二模)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为(　　) A．(1，4) B．(1，5) C．(2，4) D．(2，5) B　解析：因为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，由四边形ABCD是平行四边形，可得＝＝(4，1).设D(x，y)，则(5－x，6－y)＝(4，1)，所以x＝1，y＝5，即点D的坐标为(1，5).故选B. 2．(2023·湖北荆州二模)已知向量m＝(3，－4)，n＝(－12，5)，则m·n＋|n|＝(　　) A．－56 B．69 C．－43 D．43 C　解析：因为m＝(3，－4)，n＝(－12，5)，所以m·n＋|n|＝3×(－12)＋(－4)×5＋＝－36－20＋13＝－43.故选C. 3．(2023·广东湛江一模)在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点．记＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B．a＋b C．a＋b D．a＋b D　解析：如图， 可得＝－＝－＝b－a，所以＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.故选D. 4．(2023·湖北武汉二模)在正六边形ABCDEF中，用和表示，则＝(　　) A．－＋ B．－＋ C．－＋ D．－＋ B　解析：设正六边形ABCDEF的边长为2，如图所示．设AD，EC交于点O，有OD＝1，AO＝3， 则＝＋＝(＋)＋(＋)＝－＋.故选B. 5．(2023·山东聊城二模)在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，·＝－6，则∠BAD的余弦值为(　　) A．－ B．－ C． D． D　解析：如图， ∵＝－，＝＋＝＋ ， ∴·＝(－)(＋)＝2－·－2＝4－4cos ∠BAD－8＝－6， ∴cos ∠BAD＝.故选D. 6．(2023·山东聊城一模)已知M是△ABC内的一点，若＝＋λ，＝＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B．1 C． D． D　解析：由－＝，知＝＋μ－－λ， 所以＝μ－λ，即＝6(μ－λ)＝6(μ＋λ). 又＝＋，所以μ＝λ＝，故λ＋μ＝.故选D. 7．(多选)(2023·山东济南一模)已知平面向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则(　　) A．|a|＝ B．(2a－b)⊥b C．a与b的夹角为钝角 D．a在b上的投影向量的模为 AD　解析：|a|＝＝，A项正确；因为2a－b＝(2，6)－(－2，1)＝(4，5)，所以(2a－b)·b＝(4，5)·(－2，1)＝－8＋5＝－3≠0，故2a－b与b不垂直，B项错误；cos 〈a，b〉＝＝＝＝>0，且a，b不共线，故a与b的夹角为锐角，C项错误；a在b上的投影向量的模为＝＝，D项正确．故选AD. 8．(2023·山东德州一模)已知等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，PE⊥AC，垂足为E.当·＝－时，＝(　　) A．－＋ B．－＋ C．－＋ D．－＋ B　解析：设＝λ(0<λ<1)，则＝－＝－λ，＝－λ，∴·＝(－λ)·(－λ)＝·－λ·－λ·＋λ22＝2－λ×2×××2＋3λ2＝3λ2－6λ＋2＝－，∴9λ2－18λ＋8＝0，∴解得λ＝或λ＝(舍去)，∴P为△ABC的重心．∵PE⊥AC，∴E为AC的中点，∴＝－＝－＝－×(＋)＝－＋.故选B. 9．(2023·山东日照二模)若向量a与b的夹角为，且|a|＝4，b＝(1，2)，则a·b＝________． 2　解析：因为b＝(1，2)，所以|b|＝＝.又因为向量a与b的夹角为，且|a|＝4，所以a·b＝|a||b|cos ＝4××＝2. 10．(2023·山东菏泽二模)已知向量a＝(－2，2)，b＝(1，m)，若向量a＋b与a垂直，则向量a与b的夹角余弦值是________． －　解析：因为a＝(－2，2)，b＝(1，m)，所以a＋b＝(－1，2＋m).又a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝2＋4＋2m＝0，解得m＝－3. 所以cos 〈a，b〉＝＝＝－. 11．(2023·山东青岛一模)已知O(0，0)，A(1，2)，B(3，－1).若向量m∥，且m与的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为________． (－1，－2)(答案不唯一)　解析：根据题意可得＝(1，2)，＝(3，－1).设m＝(x，y).因为向量m∥，且m与的夹角为钝角，所以所以x<0.不妨令x＝－1，所以y＝－2，即m＝(－1，－2). 12．(2023·山东泰安一模)如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点N为AC的中点，点M是边CB(包括端点)上的一个动点，则·的最大值为________． 3　解析：以线段AB的中点为原点，AB边所在的直线为x轴，A