44 下篇 考前回扣 回扣5 立体几何与空间向量（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

[对应学生用书P116] 1．柱体、锥体、台体、球的表面积与体积 名称 体积 表面积 棱柱 V棱柱＝Sh S棱柱＝2S底面＋S侧面 棱锥 V棱锥＝Sh S棱锥＝S底面＋S侧面 棱台 V棱台＝h(S＋＋S′) S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面 圆柱 V圆柱＝πr2h S圆柱＝2πrl＋2πr2 圆锥 V圆锥＝πr2h S圆锥＝πrl＋πr2 圆台 V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2) S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2 球 V球＝πR3 S球＝4πR2 2．线面平行与垂直的判定与性质 定理名称 图形语言 符号语言 线面平行的判定定理 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 线面平行的性质定理 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 线面垂直的判定定理 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α 线面垂直的性质定理 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 3．面面平行与垂直的判定与性质 定理名称 图形语言 符号语言 面面平行的判定定理 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β 面面平行的性质定理 α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b 面面垂直的判定定理 a⊥α，a⊂β⇒α⊥β 面面垂直的性质定理 α⊥β，b⊂β，α∩β＝a，b⊥a⇒b⊥α 4.向量法求空间角和距离 (1)异面直线所成的角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cos θ＝. (2)线面角：设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角θ满足sin θ＝. (3)两个平面的夹角 ①如图(ⅰ)，AB，CD是二面角α­l­β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则两个平面夹角的大小θ满足cos θ＝|cos 〈，〉|. ②如图(ⅱ)(ⅲ)，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则两个平面夹角的大小θ满足cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|. (4)点到平面的距离的向量求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段(A∈α，B∉α)，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝. 5．利用向量方法证明平行与垂直 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4). (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (3)线面平行：l∥α或l⊂α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. (4)线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (5)面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4. (6)面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. 6．模、夹角和距离公式 (1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝，cos 〈a，b〉＝＝. (2)距离公式 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||＝. 1．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件． 2．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系． 3．几种角的范围：两条异面直线所成的角的范围为(0，]；直线与平面所成的角的范围为；二面角的范围为[0，π]；两个平面夹角的范围为[0，]，直线的倾斜角的范围为[0，π)；两个向量夹角的范围为[0，π]. 4．利用空间向量求线面角时，误以为直线的方向向量与法向量的夹角是线面角． 1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是(　　) A.若m∥n，n⊂α，则m∥α B.若m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β C.若m⊂α，m⊥β，则α⊥β D.若α⊥β，m⊥α，则m∥β C　解析：若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，A项错误；若m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，α与β不一定垂直，因此m⊥β不正确，B项错误；由面面垂直的判定定理知C项正确；若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，D项错误．故选C. 2．(2023·山东济宁三模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．将△ADE，△BEF，△CDF分别沿DE，EF，D