37 中篇 专题六 微点培优（七）导数中的构造函数问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

微点培优(七)　导数中的构造函数问题 [对应学生用书P105] 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高考数学中一种常用的方法，解题时若遇到有关不等式、方程及最值类问题，则构造函数，并确定自变量的取值范围，通过研究函数的单调性、最值等，可使问题变得清晰明了．因此，准确构造函数是解题的关键．构造函数的主要依据有两个：一是直接根据所求解不等式或方程；二是根据求导的基本法则． [例1] (1)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)≤2f(x)对x∈R恒成立，则(　　) A．e2f(0)>f(1)，e4 040f(1)>f(2 021) B．e2f(0)<f(1)，e4 040f(1)>f(2 021) C．e2f(0)>f(1)，e4 040f(1)<f(2 021) D．e2f(0)<f(1)，e4 040f(1)<f(2 021) (2)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则(　　) A．sin α>sin β B．cos α>cos β C．cos α>sin β D．sin α>cos β (1)A　(2)D　解析：(1)令g(x)＝，则g′(x)＝＝. 因为f′(x)≤2f(x)，e2x>0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在R上单调递减，所以g(0)>g(1)，g(1)>g(2 021)，即>，>，所以e2f(0)>f(1)，e4 040f(1)>f(2 021).故选A. (2)α＋β－>sin β－cos α，β－sin β>－α－sin (－α)， 令f(x)＝x－sin x，x∈(0，)，f′(x)＝1－cos x>0，所以f(x)在(0，)上单调递增，所以β>－α. 因为α，β均为锐角， 所以cos β<cos (－α)，sin β>sin (－α)，所以cos β<sin α，sin β>cos α.故选D. 本题考查函数值大小关系的比较，解题关键是能够根据已知的不等式构造出新函数g(x)＝，通过g(x)的单调性确定大小关系． [练1] 设a＝eπ，b＝2π，c＝πe(e为自然对数的底数)，则(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a C　解析：设函数f(x)＝，则f′(x)＝，所以当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)＝在[e，＋∞)上单调递减，所以 >，即eπ>πe，所以a>c.又πe>3＝9，2π<2＝8，8<9，所以c>b，所以a>c>b. [例2] (1)设函数f(x)的导函数是f′(x)，且f(x)·f′(x)>x恒成立，则(　　) A．f(1)<f(－1) B．f(1)>f(－1) C．|f(1)|<|f(－1)| D．|f(1)|>|f(－1)| (2)(2022·湖南常德模拟)若函数g(x)为定义在R上的奇函数，g′(x)为g(x)的导函数，当x≥0时，g′(x)>2x，则不等式g(x)>x2的解集为(　　) A．(－∞，0) B．(－2，0) C．(0，2) D．(0，＋∞) (1)D　(2)D　解析：(1)设g(x)＝[f2(x)－x2]，则g′(x)＝[2f(x)f′(x)－2x]＝f(x)f′(x)－x>0恒成立，所以g(x)在R上单调递增，故g(1)>g(－1)，即[f2(1)－1]>[f2(－1)－1]，解得f2(1)>f2(－1)，即|f(1)|>|f(－1)|.故选D. (2)令h(x)＝g(x)－x2，则h′(x)＝g′(x)－2x.当x≥0时，g′(x)>2x，所以h′(x)>0， 所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为g(x)为定义在R上的奇函数，所以g(0)＝0，所以h(0)＝g(0)－0＝0. 因为h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，h(x)>h(0)＝0，即g(x)>x2>0.因为g(x)为定义在R上的奇函数，所以当x<0时，g(x)<0不满足g(x)>x2.综上，不等式g(x)>x2的解集为(0，＋∞).故选D. [练2] 定义在R上的奇函数f(x)的图象光滑连续不断，其导函数为f′(x)，对任意正实数x恒有xf′(x)>2f(－x).若g(x)＝x2f(x)，则不等式g[log3(x2－1)]＋g(－1)<0的解集是(　　) A．(0，2) B．(－2，2) C．(－3，2) D．(－2，－1)∪(1，2) D　解析：因为函数f(x)为R上的奇函数，所以函数g(x)也为奇函数，且g(0)＝0.因为对任意正实数x恒有xf′(x)>2f(－x)＝－2f(x)，即xf′(x)＋2f(x)>0，所以x＞0时g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上为单