36 中篇 专题六 第四讲 第二课时 利用导数研究函数的零点问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第二课时　利用导数研究函数的零点问题 [对应学生用书P103] [例1] (2023·山东济宁一模)已知函数f(x)＝(x－3)ex－(x2－4x). (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)当0<a<2时，讨论函数f(x)的零点个数．(210＜2.77) 解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x－3)ex－(x2－4x)，f′(x)＝(x－2)ex－e(x－2)＝(x－2)(ex－e). 当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1，2). (2) f′(x)＝(x－2)ex－ea(x－2)＝(x－2)(ex－ea)， 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝a，0<a<2. 当x<a时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当a<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)和(2，＋∞)，单调递减区间为(a，2). f(a)＝(a－3)ea－(a2－4a)＝(－a2＋6a－6)， 令f(a)＝0，得a＝3－. 当0<a<3－时，f(2)<f(a)＜0. 又f(4)＝e4>0，所以存在唯一x1∈(2，4)，使得f(x1)＝0， 此时函数f(x)有1个零点为x1； 当a＝3－时，f(2)<f(a)＝0. 又f(4)＝e4>0，所以存在唯一x2∈(2，4)，使得f(x2)＝0， 此时函数f(x)有2个零点，为x2和a. 令f(2)＝－e2＋2ea＝0，得a＝2－ln 2. 现证3－<a<2－ln 2，即ln 2<－1， 即2<e-1显然成立． 因为210<2.77<e7，所以e-1>e>2. 当3－<a<2－ln 2时，f(2)<0< f(a). 又f(4)＝e4>0，f(0)＝－3<0. 所以存在唯一x3∈(0，a)，唯一x4∈(a，2)，唯一x5∈(2，4)， 使得f(x3)＝f(x4)＝f(x5)＝0，此时函数f(x)有3个零点，为x3，x4，x5. 当a＝2－ln 2时，f(a)>f(2)＝0.又f(0)＝－3<0，所以存在唯一x6∈(0，a)，使得f(x6)＝0，此时函数f(x)有2个零点，为x6和2. 当2－ln 2<a<2时，f(a)>f(2)>0.又f(0)＝－3<0. 所以存在唯一x7∈(0，a)，使得f(x7)＝0，此时函数f(x)有1个零点，为x7. 综上所述，当0<a<3－时，函数f(x)有1个零点；当a＝3－时，函数f(x)有2个零点；当3－<a<2－ln 2 时，函数f(x)有3个零点；当a＝2－ln 2时，函数f(x)有2个零点；当2－ln 2<a<2时，函数f(x)有1个零点． 求解函数零点(方程根)的个数问题的步骤 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在相关区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在相关区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象求解． [练1] (2023·江苏常州二模)已知函数f(x)＝(x2－2ax)ln x＋x2. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若a>，讨论函数f(x)的零点个数． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x2－2x)ln x＋x2，该函数的定义域为(0，＋∞). f′(x)＝(2x－2)ln x＋(x－2)＋x＝2(x－1)(ln x＋1). 由f′(x)>0，可得0<x<或x>1；由f′(x)<0，可得<x<1. 故当a＝1时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)和(1，＋∞)，单调递减区间为(，1). (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝(2x－2a)ln x＋(x－2a)＋x＝2(x－a)(ln x＋1). 由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a(a>). 由f′(x)>0，可得0<x<或x>a；由f′(x)<0，可得<x<a. 所以，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，(a，＋∞)，单调递减区间为(，a). 所以，函数f(x)的极大值为f()＝>0， 极小值为f(a)＝a2－a2ln a＝a2(－ln a). 当0<x<时，f(x)＝x ln x(x＋－2a). 令p(x)＝x＋－2a，其中0<x<， 则p′(x)＝1＋＝>0， 即函数p(x)在(0，)上单调递增． 故当0<x<时，p(x)<p()＝－2a<0. 此时，f(x)＝x ln x(x＋－2a)>0. 所以f(x)在(0，)上不存在零点． ①当<a<时，f(a)＝a2(－ln a)>0， 此时函数f(x)