35 中篇 专题六 第四讲 第一课时 利用导数研究不等式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第四讲　函数与导数的综合问题(大题突破) [对应学生用书P100] [典例] (2022·新高考全国 Ⅱ 卷)已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围； (3)设n∈N*，证明：＋＋…＋>ln (n＋1). ►命题立意 考查内容 本题由指数函数与一次函数的复合函数为载体，第(1)问考查函数的单调性，第(2)问考查恒成立问题，属于课程学习情境；第(3)问通过对指数与对数的灵活变形构造对数函数证明不等式，属于探索创新情境 命题探源 参照人教A版选择性必修第二册第95页例7、第104页复习参考题5第19题，人教B版选择性必修第三册第113页复习题B组第5题命制 ►关键能力 (1)数学符号与抽象 序号 关键信息 数学符号与抽象 ① 已知函数f(x)＝xeax－ex.当a＝1时，讨论f(x)的单调性 求出f′(x)，讨论其符号后可得f(x)的单调性 ② 当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围 设h(x)＝xeax－ex＋1，求出h″(x)，先讨论a>时题中的不等式成立，再对a≤的情况结合放缩法讨论h′(x)的符号，可得参数的范围 ③ 设n∈N*，证明：＋＋…＋>ln (n＋1) 由(2)得2ln t<t－对任意的t>1恒成立，从而可得ln (n＋1)－ln n<对任意的n∈N*恒成立，结合裂项相消法可证得题设中的不等式 (2)逻辑推理能力 在解决第(2)问时，讨论a>时命题不成立，需要学生对问题比较、分析、综合、抽象与概括，并能准确、清晰、有条理地进行表述． (3)运算求解能力 指数式与对数式的转化、放缩法的应用、导数背景下的裂项相消，都要求考生有较高的运算求解能力． (1)解：当a＝1时，f(x)＝xex－ex，f′(x)＝xex. 当x>0时，f′(x)＝xex>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x<0时，f′(x)＝xex<0，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减． (2)解：设h(x)＝xeax－ex＋1，则h(0)＝0. 又h′(x)＝(1＋ax)eax－ex， 设g(x)＝(1＋ax)eax－ex，则g′(x)＝(2a＋a2x)eax－ex. 若a>，则g′(0)＝2a－1>0. 因为g′(x)为连续不间断的函数，故存在x0∈(0，＋∞)，使得∀x∈(0，x0)，总有g′(x)>0， 故g(x)在(0，x0)上单调递增． 故g(x)>g(0)＝0，故h(x)在(0，x0)上为单调递增， 故h(x)>h(0)＝0，则f(x)>－1，与题设矛盾． 若0<a≤，则h′(x)＝(1＋ax)eax－ex＝eax＋ln (1+ax)－ex. 下证：对任意x>0，总有ln (1＋x)<x成立． 证明：设S(x)＝ln (1＋x)－x，则S′(x)＝－1＝<0，故S(x)在(0，＋∞)上单调递减，故S(x)<S(0)＝0， 即ln (1＋x)<x成立． 由上述不等式，有eax＋ln (1+ax)－ex<eax＋ax－ex＝e2ax－ex≤0，故h′(x)≤0总成立，即h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以h(x)<h(0)＝0，则f(x)<－1. 当a≤0时，有h′(x)＝eax－ex＋axeax<1－1＋0＝0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)<h(0)＝0，即f(x)<－1. 综上，a的取值范围为(－∞，]. (3)证明：由(2)知当a＝，x＞0时，xex－ex＜－1，所以x＜ex－. 令ex＝t，则t>1，x＝2ln t，所以2ln t<t－，t>1. 取t＝(n∈N*)， 则2ln t＝ln (n＋1)－ln n<－＝， 所以＋＋…＋>ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln (n＋1)－ln n＝ln (n＋1)，故结论得证． 第一课时　利用导数研究不等式 [对应学生用书P101] [例1] (2023·新课标 Ⅰ 卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋. (1)解：f′(x)＝aex－1， 当a≤0时，f′(x)＜0， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时，令f′(x)>0，得x>－ln a，令f′(x)<0，得x<－ln a， 所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上可得：当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)证明：方法一(最值法)　由(1)得当a>0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－