34 中篇 专题六 第三讲 导数的简单应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第三讲　导数的简单应用(小题专攻) [对应学生用书P98] [典例] (2023·新课标 Ⅱ 卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e-1 D．e-2 ►命题立意 考查内容 本题以指数和对数函数为载体，考查学生的逻辑推理能力，属于探索创新情境 ►关键能力 (1)数学符号与抽象 关键信息 数学符号与抽象 f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增 求导数后转化为求函数最值问题 (2)逻辑思维能力 将函数单调性转化为不等式恒成立问题，进而转化为求函数最值问题． C　解析：因为函数f(x)＝aex－ln x，所以f′(x)＝aex－.因为函数f(x)＝aex－ln x在(1，2)单调递增，所以f′(x)≥0在(1，2)恒成立，即aex－≥0在(1，2)恒成立，易知a>0，则0<≤xex在(1，2)恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e-1. 1．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 2．基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0； (2)若f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)，则f′(x)＝αxα-1； (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x； (5)若f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则f′(x)＝ax ln a；特别地，若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex； (6)若f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f′(x)＝；特别地，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝. 3．导数四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). (3)′＝(g(x)≠0). 1．(2023·山东烟台模拟)过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为(　　) A．x－y－3＝0 B．x－y＋3＝0 C．x＋y＋3＝0 D．x＋y－3＝0 B　解析：由y＝x3－2x＋1，则y′＝3x2－2.设切点坐标为(x0，x－2x0＋1)，则切线的斜率k＝3x－2，切线方程为y－(x－2x0＋1)＝(3x－2)(x－x0).将点(0，3)的坐标代入切线方程，解得x0＝－1，所以切线方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0. 2．(2023·山东潍坊模拟)若函数y＝k(x－1)与y＝ln x的图象有且只有一个公共点，则(　　) A．k＝1 B．k≥e C．k＝1或k≤0 D．k≤0或k＝1或k≥e C　解析：易知函数y＝k(x－1)与y＝ln x的图象有一个公共点(1，0).又因为y＝ln x，则y′＝，所以曲线y＝ln x在x＝1处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝1. 如图，当k≤0时，y＝k(x－1)与y＝ln x的图象有且只有一个公共点，故k≤0符合题意． 当0<k<1时，曲线y＝k(x－1)与y＝ln x有两个公共点，故0<k<1不符合题意． 当k＝1时，曲线y＝k(x－1)与y＝ln x有且只有一个公共点，故k＝1符合题意． 当k>1时，曲线y＝k(x－1)与y＝ln x有两个公共点，故k>1不符合题意． 综上，k＝1或k≤0. 3．(2023·湖北联考)若过点(1，2)可作三条直线与曲线f(x)＝x3－3x＋a相切，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) D　解析：f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x－3x0＋a)，则切线方程为y－(x－3x0＋a)＝(3x－3)(x－x0).又切线过点(1，2)，得2－(x－3x0＋a)＝(3x－3)(1－x0)，整理得a＝2x－3x＋5，由题意知该方程有三个不等实根．令g(x)＝2x3－3x2＋5，则g′(x)＝6x2－6x.令g′(x)＝0，则x＝0或x＝1.当x<0或x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当0<x<1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．所以函数g(x)的极大值为g(0)＝5，极小值为g(1)＝4，所以4<a<5. 4．(2023·江苏泰州一模)若过点P(t，0)可以作曲线y＝(1－x)ex的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2的取