31 中篇 专题五 微点培优（六）隐圆(阿波罗尼斯圆)问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

微点培优(六)　隐圆(阿波罗尼斯圆)问题 [对应学生用书P90] 近年来阿波罗尼斯圆即隐圆问题受到命题者的广泛青睐，难度为中档、高档题目. 该类题目题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来解决. 对优化思维过程，提升数学解题能力，培养数学核心素养大有裨益． [例1] 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为____________． [2－，2＋]　解析：由题意得圆心M(a，a－4)在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆．又因为圆M上存在点P，经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB＝60°，所以|OP|＝2，即点P也在x2＋y2＝4上，于是2－1≤≤2＋1，即1≤≤3，解得实数a的取值范围是[2－，2＋]. 题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数，或者得到动点到两定点的直线夹角为直角，则可以得到点的轨迹为圆． [练1] 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________． [－2，2]　解析：由题可知四边形PAOB是正方形，|OP|＝，所以P的轨迹是以原点O为圆心，为半径的圆．又点P也在圆M上，所以0≤|OM|≤＋，得a2＋22≤8，解得－2≤a≤2.即实数a的取值范围为[－2，2]. [例2] 已知点A(－1, 0)，B(1, 0)，若圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M满足·＝3，则实数a的取值范围是________. [－2, 1]　解析：设M(x，y)，因为·＝3， 所以点M的轨迹方程为(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝3即x2＋y2＝4，表示以原点O为圆心，2为半径的圆． 又因为点M在圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上，所以两圆有交点， 所以2－1≤≤1＋2， 即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1， 即实数a的取值范围为[－2，1]. [练2] 已知圆O：x2＋y2＝1.若圆O上存在两点A，B，直线y＝2上存在点M，满足＝λ(λ>0)，则λ的取值范围是________． (0，2]　解析：方法一　设M(t，2)，圆心O到直线AB距离为d，则＝ ， 即|OM|2＝(＋1)2＋[1－(＋1)2]d2， 因为0≤d2≤1，所以1≤|OM|2≤(＋1)2， 解得1≤t2＋4≤(＋1)2， 所以4≤(＋1)2，解得0<λ≤2，即λ的取值范围是(0，2]. 方法二　画出草图(图略)，由题易得点A在B，M之间，任取点M，过点M作圆的切线，此时A，B重合，绕点M顺时针旋转，符合题意；由题意知λ>0，且当|MA|最小、|AB|最大时λ最大，此时λ为2(A，B，M在y轴上)，可得0<λ≤2.则λ的取值范围是(0，2]. [例3] 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点A(2, 0)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是_________． 　解析：设M(x，y)， 因为|MA|2＋|MO|2≤10，所以(x－2)2＋y2＋x2＋y2≤10， 化简得x2＋y2－2x－3≤0， 则圆C：x2＋y2＋2x－1＝0与圆x2＋y2－2x－3＝0有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x＝－， 代入x2＋y2－2x－3≤0可得－≤y≤， 所以点M的纵坐标的取值范围是. 在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题． [练3] 已知||＝||＝，且·＝1.若点C满足|＋|＝1，则||的取值范围是____________． [－1，＋1]　解析：如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB， 则＝＋， 因为||＝||＝，·＝1， 所以||＝|＋|＝ ＝， 由|＋|＝1得 |＋|＝|＋－|＝|－|＝||＝1， 所以点C在以点D为圆心，1为半径的圆上， 而||表示点C到点O的距离， 从而||－1≤||≤||＋1， 即－1≤||≤＋1， 即||的取值范围是[－1，＋1]. [例4] 在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－3)上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满足＝3，则实数k的最小值为________． －　解析：设点P(x，y)， 由＝3，可得Q(，). 又点Q在圆x2＋(y－1)2＝1上， 可得()2＋(－1)2＝1，即x2＋(y－3)2＝9， 所以点P既在