30 中篇 专题五 微点培优（五）抛物线焦点弦的活用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

微点培优(五)　抛物线焦点弦的活用 [对应学生用书P89] 下面关于抛物线焦点弦的四个常用结论即为具体表现之一，适用于y2＝2px(p＞0). [例1] 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点．若·＝－12，则抛物线C的方程为________． y2＝8x　解析：设抛物线为y2＝2px(p＞0)，直线AB：x＝my＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(负值舍去)，即抛物线C的方程为y2＝8x. 本题通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速地得到结果，体现了模式化的认知特性．将特殊的概念结论广泛地、抽象地应用于数学题目，体现了数学抽象的核心素养，代入数值进行计算，体现了数学运算的核心素养． [练1] 已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若S△AOF＝3S△BOF(O为坐标原点)，则|AB|＝________． 　解析：∵y2＝4x，∴F(1，0)，又∵S△AOF＝3S△BOF， ∴yA＝－3yB，又∵yAyB＝－p2＝－4，∴y＝，y＝12.又∵y＝4xB，y＝4xA，∴xA＝3，xB＝，∴|AB|＝xA＋xB＋p＝. [例2]设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________． 　解析：由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12.原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝. 本题通过抛物线焦点弦长公式的拓展，将复杂的面积问题抽象为长度、距离问题，体现了数学抽象的核心素养；再通过倾斜角和斜率联立方程，体现了数学运算的核心素养． [练2] 已知经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点．如果线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________． 2　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，∴14＋p＝，∴p＝2. [例3]已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝__________． 　解析：因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝3|BF|＝. 本题将求弦长问题，通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题，体现了数学抽象的核心素养；再通过焦半径的结论代入计算，体现了数学运算的核心素养． [练3] 如图，过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C.若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为________． 　解析：如图， 作AD⊥l于点D，|AD|＝|AF|＝|AC|＝4，得|OF|＝＝4×＝1，所以p＝2.因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. [例4] 已知F是抛物线y2＝4x的焦点，O为坐标原点，点A，B在抛物线上，且满足＝3，则△AOB的面积为________． 　解析：∵＝3，设y2＝4x的焦点弦的倾斜角为α，∴||＝，||＝，∴＝3×，∴cos α＝，sin α＝.又∵|AB|＝|AF|＋|BF|＝，∴S△AOB＝|AF||OF|sin∠AFO＋|BF||OF|sin ∠BFO＝|OF|·sinα＝××＝. 已知过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为α，则|AF|＝，|BF|＝，S△OAB＝； (2)若已知A，B两点的横坐标为x1，x2，则|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋. [练4] 过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则＝_______________________________. 　解析：∵|AF|＝＝，|BF|＝＝2p，∴＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$