29 中篇 专题五 第三讲 第三课时 定点、定值与存在性问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第三课时　定点、定值与存在性问题 [对应学生用书P86] [例1] (2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． (1)解：因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4. 因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设直线lPQ的方程为y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由，得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0， 则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，解得k<0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝， 则yM＋yN＝2＝ 2＝ 2＝ 2＝ 2×＝6. 所以线段MN的中点的纵坐标为＝3，所以线段MN的中点为定点(0，3). 直线过定点问题的解题模型 [练1] (2023·江苏扬州模拟)已知AB为抛物线G：y2＝2px(p>0)的弦，点C在抛物线的准线l上．当AB过抛物线的焦点F且长度为8时，弦AB的中点M到y轴的距离为3. (1)求抛物线G的方程； (2)若∠ACB为直角，求证：直线AB过定点． (1)解：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由题意得解得p＝2. 所以抛物线G的方程为y2＝4x. (2)证明：设C(－1，c)，A(，y1)，B(，y2)，直线AB的方程x＝ty＋n. 将x＝ty＋n代入y2＝4x，得y2－4ty－4n＝0， 则Δ＝16t2＋16n>0，即t2＋n>0. 由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝4t，y1y2＝－4n， 所以＝(＋1，y1－c)，＝(＋1，y2－c). 因为∠ACB＝90°，所以·＝0， 即＋＋1＋y1y2－c(y1＋y2)＋c2＝0， 即n2＋4t2＋2n＋1－4n－4tc＋c2＝0， 即(n－1)2＋(2t－c)2＝0，所以n＝1， 又直线AB的方程为x＝ty＋n， 所以直线AB过定点(1，0). [例2] (2023·山东省实验中学一模)在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知过点F且斜率k不为零的直线l交椭圆E：＋＝1于A，B两点，交曲线C于M，N两点．若－为定值，求实数λ的值． 解：(1)设P(x，y)，依题意，＝|x|＋1. 两边平方并整理，得y2＝2|x|＋2x. 所以曲线C的方程为y2＝2|x|＋2x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4).依题意，可设直线l的方程为x＝1＋my. 由消去x并整理，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0. 所以y1＋y2＝，y1y2＝，|AB|＝·＝. 由(1)知，y2＝2|x|＋2x＝ 若直线l交曲线C于M，N两点，且k≠0， 则直线l与y2＝4x(x≥0)相交． 由消去x得y2－4my－4＝0. 所以y3＋y4＝4m，y3y4＝－4.|MN|＝x3＋x4＋2＝2＋m(y3＋y4)＋2＝4＋4m2. 从而－＝－＝. 要使－为定值，则4λ－3＝3λ，即λ＝3， 所以实数λ的值为3. 求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． [练2] (2023·山东滨州二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，其短轴的一个端点到焦点F1的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为OF1的中点，M为椭圆上一点，过点P且平行于OM的直线l与椭圆C相交于A，B两点，是否存在实数λ，使得λ|OM|2＝|PA|·|PB|？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意，得a＝＝. 又e＝＝，所以c＝2，所以b＝＝1. 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)已知得F1(－2，0)，P(－1，0)， 若直线l的斜率不存在，则|OM|＝1，|PA|＝|PB|＝. 由λ|OM|2＝|PA|·|PB|，得λ＝. 若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝k(x＋1). 由消去y，得(5k2＋1)x2＋10k2x＋5k2－5＝0，Δ＝(10k2)2－4(5k2＋1)(5k2－5)>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由题意|PA|＝|x1＋1|，|PB|＝