28 中篇 专题五 第三讲 第二课时 最值与范围问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第二课时　最值与范围问题 [对应学生用书P84] [例1] (2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0， 由Δ1＝16p2－8p>0，得p>. 由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p， 所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)， 故p＝2. (2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0). 因为·＝0，所以∠MFN＝90°， 则S△MFN＝|MF||NF|＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)(*). 当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称， 因为∠MFN＝90°， 所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1. 不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1， 由得x2－6x＋1＝0， 得或 代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为12－8. 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m. 由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0， 则 y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝. 又·＝(1－x3，y3)·(1－x4，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0， 所以－＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4. 所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)＝＝＝()2＋2()＋1. 令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1， 因为m2＋k2＋6km＝4，所以()2＋6()＋1＝>0， 即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2， 从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8. 故△MFN面积的最小值为12－8. 解决圆锥曲线中的最值问题的方法 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． [练1] 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)设线段AB的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 解：(1)由已知条件可知解得 则双曲线C的方程为－y2＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝2，易知点M到y轴的距离为xM＝2； 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠±，m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立 整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，令Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0， 即4k2＝m2＋1.联立整理得(4k2－1)·x2＋8kmx＋4m2＝0， 所以x1＋x2＝－＝－， 所以xM＝＝－， 所以x＝＝4＋>4，即|xM|>2， 故此时点M到y轴的距离大于2. 综上所述，点M到y轴的距离的最小值为2. [例2] 如图，已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点(B在x轴上方)，连接BF2并延长，交椭圆C于点M. (1)若AB⊥x轴，求直线BM的方程； (2)求·的取值范围． 解：(1)由已知得F1(－1，0)，F2(1，0). 当AB⊥x轴时，可得点B(－1，)，此时直线BM的斜率为－， 所以直线BM的方程为y＝－(x－1)， 即3x＋4y－3＝0. (2)若直线BM的斜率不存在，则直线BM的方程为x＝1，此时B(1，)，M(1，－)， 则·＝(2，)·(2，－)＝. 若直线BM的斜率存在，设直线BM的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，B(x1，y1)，M(x2，y2). 联立 消去y得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 根据根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝. 因为＝(x2＋1，y2)，＝(x1＋1，y1)， 所以·＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)＝(1＋k2)·(x1x2＋1)＋(1－k2)(x1＋x2)＝＝(1－). 所以，当k2→0时，·→－3， 当k2→＋∞时，·→， 所以·∈(－3，). 又直线BM的斜率不存在时，·＝， 所以·的取值范围是(－3，]. 解决圆锥曲线范围问题的常用方法 数形结合法 利用待求量的几何意义