26 中篇 专题五 第二讲 圆锥曲线的定义、方程与性质（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第二讲　圆锥曲线的定义、方程与性质(小题专攻) [对应学生用书P77] [典例] (2022·新高考全国 Ⅱ 卷)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________． ►命题立意 考查内容 本题以椭圆方程为载体，考查直线与椭圆的位置关系，属于课程学习情境 命题探源 参照人教B版选择性必修第一册第178页复习题B组第13题命制 ►关键能力 (1)数学符号与抽象 序号 关键信息 数学符号与抽象 ① 直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点 数形结合得直线l的斜率为负数，求直线方程，可直接设成截距式＋＝1，可顺利求出点M，N的坐标 ② |MA|＝|NB| 若取弦AB的中点E，则E为线段MN的中点，利用点差法可求得直线OE斜率和直线l斜率之积为－ ③ |MN|＝2 利用两点间的距离公式求得m (2)逻辑思维能力和运算求解能力 通过分析题目已知条件，设出恰当的直线方程形式，将条件转化为直线方程中待定系数间的等式关系，解出待定系数．主要考查考生对题干问题进行分析、综合、抽象与概括并能准确、清晰、有条理地进行表述的能力． x＋y－2＝0　解析：设直线l的方程为＋＝1(m>0，n>0)，分别令y＝0，x＝0，得M(m，0)，N(0，n).设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，所以 因为kAB＝kMN，所以＝＝－. 将A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的坐标代入椭圆方程，得 两式相减，得＋＝0. 由题意知x1＋x2≠0，x1≠x2，所以·＝－， 即·(－)＝－，整理得m2＝2n2.① 又|MN|＝2，所以得m2＋n2＝12.② 由①②并结合m>0，n>0，得 所以直线l的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0. 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为点M到准线的距离). 提醒：利用椭圆、双曲线的定义解题时要注意两种曲线的定义形式及其限制条件． 2．求圆锥曲线标准方程要“先定型，再计算” “定型”，就是确定曲线焦点所在坐标轴的位置；“再计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 1．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 B　解析：方法一　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2tan ，得|PF1|·|PF2|＝1×tan，所以|PF1|·|PF2|＝2. 方法二　因为·＝0，所以PF1⊥PF2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16. 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20， 即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20， 所以|PF1|·|PF2|＝2. 2．(2023·河北邯郸一模)抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，一条平行于x轴的光线经过点A(3，1)，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F.若|AB|＋|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是(　　) A．x＝－4 B．x＝－2 C．x＝－1 D．x＝－ B　解析：由抛物线的定义可得|AB|＋|BF|＝3＋＝5，解得p＝4，则抛物线C的准线方程是x＝－＝－2. 3．(2023·广东揭阳模拟)已知点A(0，4)，双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线左支上一点，则|PA|＋|PF2|的最小值为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 C　解析：由已知得c2＝9，所以F1(－3，0)，F2(3，0). 又因为点P在双曲线左支上，所以|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PA|＋|PF2|＝|PA|＋2a＋|PF1|≥|AF1|＋2a＝＋4＝9，当且仅当点P在线段AF1上时，等号成立． 4．(多选)(2023·广东江门一模)已知曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1(0≤α<π)，则(　　) A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0 B．若曲线C表示双曲线，则<α<π C．若0<α<，则曲线C表示椭圆 D．若0<α<，则曲线C表示焦点在x轴的椭圆 BD　解析：若曲线C表示两条