24 中篇 专题四 微点培优（四）立体几何中的动态最值(范围)问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

微点培优(四)　立体几何中的动态最值(范围)问题 [对应学生用书P71] 立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的障碍，使题目更具挑战性与创新性．立体几何动态问题主要包括动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值等．解答此类问题并没有一定的模式与固定的套路可以应用，学生没有清晰的解答思路，是常见的失分点．学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略是主要原因． [例1] (多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是(　　) A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 ACD　解析：因为直线MN与平面ABCD所成的角为，即∠MND＝，所以DM＝DN＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A项正确． 若MN＝4，因为MD⊥ND，MD＝2，所以ND＝＝2，设DM的中点为Q，所以点P到Q的距离为ND＝.又点P到平面ABCD的距离等于DQ＝1为定值，所以点P的轨迹是以Q为圆心，以为半径的圆，其面积为3π，故B项不正确．因为BB1⊥平面ABCD，所以点N到直线BB1的距离为NB，即点N到点B的距离与到直线DC的距离相等．又点B不在直线DC上，所以点N的轨迹是以B为焦点，以直线DC为准线的抛物线，故C项正确．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，＝(0，4，0).设N(x，y，0)，则＝(x，y，－4). 因为D1N与AB所成的角为，所以|cos 〈，〉|＝cos ＝||， 化简得－＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D项正确．故选ACD. 立体几何中的动态问题，在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析变化特点，寻找不变的静态因素．从静态因素中，找到解决问题的突破口．求解动态范围的选择题、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围．对于存在问题或最值问题，定性分析比较困难时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题．具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证． [练1] 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，AA1＝6，D为CC1的中点，E为BB1上一点，＝3，∠A1AC＝60°，M为平面AA1C1C上一点，且BM∥平面ADE，则点M的轨迹的长度为(　　) A．1 B． C． D．2 C　解析：如图，过点B作BF∥ED，交CC1于点F；过点F作FG∥AD，交AC于点G；连接BG. 因为ED∩AD＝D，BF⊄平面ADE，FG⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE，FG∥平面ADE. 而BF∩FG＝F，BF，FG⊂平面BFG，所以平面BFG∥平面ADE. 而平面BFG∩平面AA1C1C＝FG，BM∥平面ADE，所以平面AA1C1C上点M的轨迹为FG. 因为BB1＝CC1＝3BE＝3FD＝2CD，所以CF＝，所以FG＝.又∠A1AC＝60°，所以∠ACC1＝120°，AC＝CD＝3，易得AD＝3.故FG＝.故选C. 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围问题，既可以考查学生的空间想象能力，又可以考查运用运动变化观点处理问题的能力．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理能力，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练． [例2] (1)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，点P是侧面AA1D1D上一动点，且CP⊥B1E，则线段CP长度的取值范围为(　　) A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] (2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1，AA1，AB的中点，P为底面ABCD上一动点，且直线D1P∥平面EFG，求D1P与平面ABCD所成角的正切值的取值范围． (1)B　解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则C(2，2，0)，B1(2，0，2)，E(1，2，0)，＝(－1，2，－2).设P(0，y，z)，则＝(－2，y－