23 中篇 专题四 第四讲 立体几何与空间向量的综合问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第四讲　立体几何与空间向量的综合问题(大题突破) [对应学生用书P69] [例1] (2023·江苏南京二模)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝2，AD＝DC＝，如图1.现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P­AC­B，点M在线段BP上，如图2. (1)求证：AP⊥CM； (2)若点M到直线AC的距离为，求的值． (1)证明：AC＝＝2，∠CAB＝∠ACD＝45°， BC2＝4＋8－2×2×2×＝4，故BC＝2. 所以∠ACB＝90°，即AC⊥CB. 又平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面ACB＝AC，CB⊥AC，CB⊂平面ACB，所以CB⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以CB⊥AP. 又PA⊥PC，PC∩CB＝C，PC，CB⊂平面PCB，所以AP⊥平面PCB.又CM⊂平面PCB，所以AP⊥CM. (2)解：设线段AC的中点为O，线段AB中点为D，连接OD，OP，以OA，OD，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 所以A(1，0，0)，C(－1，0，0)，P(0，0，1)，B(－1，2，0). 设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ.设M(x，y，z)， 则(x＋1，y－2，z)＝ λ(1，－2，1).所以M(λ－1，2－2λ，λ)，＝(λ，2－2λ，λ). 因为＝(2，0，0)，点M到直线AC的距离为，所以CM2＝()2＋()2，即λ2＋(2－2λ)2＋λ2＝＋()2， 即25λ2－40λ＋16＝0，解得λ＝.所以＝. 解决空间角与翻折相结合问题的关键 一是盯住量，即看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征； 二是会转化，根据需要解决的立体几何问题，确立转化目标； 三是得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、基本事实、公式等解决． [练1] 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2. (1)若M是A1D的中点，求直线CM与平面A1BE所成角的大小； (2)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 解：(1)由题意得CD⊥DE，A1D⊥DE. 又CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以DE⊥平面A1CD.因为A1C⊂平面A1CD，所以A1C⊥DE. 又A1C⊥CD，CD∩DE＝D，DE⊂平面BCDE，CD⊂平面BCDE，所以A1C⊥平面BCDE. 由条件易知，＝＝， 又AC＝6，所以AD＝4，CD＝2. 以C为坐标原点，以DC，CB，CA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则C(0，0，0)，D(－2，0，0)，A1(0，0，2)，E(－2，2，0)，B(0，3，0)，＝(0，3，－2)，＝(－2，2，－2).设平面A1BE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取z＝，则x＝－1，y＝2， 所以n＝(－1，2，). 又因为M(－1，0，)，所以＝(－1，0，)， 所以cos 〈，n〉＝＝＝. 所以直线CM与平面A1BE所成角的大小为45°. (2)假设线段BC上存在点P满足条件，设P点坐标为(0，a，0)，a∈[0，3]， 所以＝(0，a，－2)，＝(2，a，0). 设平面A1DP的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 取y1＝6，则x1＝－3a，z1＝a， 所以n1＝(－3a，6，a). 若平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1·n＝0， 所以3a＋12＋3a＝0，解得a＝－2. 因为0≤a≤3，所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直． [例2] (2023·山东济宁二模)如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF交CD于点G，其中DG＝2，＝. (1)求证：平面AEF⊥平面ABCD； (2)判断上底面圆周上是否存在点P，使得平面PEF与平面FEA夹角的余弦值为.若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由． (1)证明：由题意，可知在下底面圆中CD为直径． 因为＝， 所以G为弦EF的中点，且EF⊥CD. 因为EF⊥AD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD. 所以EF⊥平面ABCD. 因为EF⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面ABCD. (2)解：设平面PEF交圆柱上底面于PQ，交AB于点H，则二面角P­EF­A的大小就是二面角H­EF­A的大小．分别以下底面垂直于DG且过点D的直线，DG，DA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 因为DG＝2，底面圆半径为3，所以EG＝FG＝2，所以A(0，0，6)，E(2，2，