21 中篇 专题四 第二讲 空间点、线、面的位置关系（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第二讲　空间点、线、面的位置关系(小题专攻) [对应学生用书P63] [典例] (多选)(2022·新高考全国 Ⅰ 卷)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° ►命题立意 考查 内容 本题以正方体为载体，考查空间中直线与直线平行、直线与直线垂直、直线与直线所成的角及直线与平面所成的角，属于课程学习情境 命题 探源 参照人教A版必修第二册第147页例1、例2，第148页练习第3题，人教B版选择性必修第一册第45页例2命制 ►关键能力 (1)数学符号与抽象 序号 关键信息 数学符号与抽象 ① 正方体ABCD­A1B1C1D1 正方体中直线、平面的位置关系 ② 直线BC1与DA1所成的角，直线BC1与CA1所成的角 直线与直线所成的角 ③ 直线BC1与平面BB1D1D所成的角，直线BC1与平面ABCD所成的角 直线与平面所成的角 (2)空间想象与逻辑思维能力 运用几何法将直线与平面所成的角转化到一个平面内，即找到直线在平面中的射影进而求解，考查学生通过线线角、线面角的定义和线面垂直用演绎、归纳和类比进行推理，正确地分析出图形中基本元素及其相互关系的能力． ABD　解析：如图，连接B1C，BC1， 因为DA1∥B1C，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角．因为四边形BB1C1C为正方形，所以B1C⊥BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A项正确．连接A1C，因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1.因为B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝ B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C.又A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，B项正确．连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O，连接BO.因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，所以C1O⊥B1B.因为C1O⊥B1D1，B1D1∩B1B＝ B1，B1D1，B1B⊂平面BB1D1D，所以C1O⊥平面BB1D1D，所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为1，则C1O＝，BC1＝，sin ∠C1BO＝＝，所以，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，C项错误．因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠C1BC＝45°，D项正确．故选ABD. 1．4个基本事实 (1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； (2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； (4)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．8个定理 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α； (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； (3)面面平行的判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β； (4)面面平行的性质定理：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b； (5)线面垂直的判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α； (6)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b； (7)面面垂直的判定定理：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β； (8)面面垂直的性质定理：α⊥β，b⊂β，α∩β＝a，b⊥a⇒b⊥α. 1．(2023·山东聊城一模)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线m，n分别在平面ABCD和ABB1A1内，且m⊥n，则下列命题正确的是(　　) A．若m垂直于AB，则n垂直于AB B．若m垂直于AB，则n不垂直于AB C．若m不垂直于AB，则n垂直于AB D．若m不垂直于AB，则n不垂直于AB C　解析：若m垂直于AB，由平面ABCD⊥平面ABB1A1，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，可得m⊥平面ABB1A1，即平面ABB1A1内的所有直线均与m垂直，而n可能垂直于AB，也可能不垂直于AB，故A项、B项均错误． 若m不垂直于AB，则BC，m为平面ABCD内的两条相交直线．由条件可知BC⊥n，m⊥n，则n⊥平面ABCD.又AB⊂平面ABCD，所以n⊥AB，故C项正确，D项错误． 2．(2023·河北唐山模拟)已知m，n是异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l∥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行