20 中篇 专题四 第一讲 空间几何体的结构特征（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

[对应学生用书P59] 新高考三年考情 第一讲　空间几何体的结构特征(小题专攻) [对应学生用书P60] [典例] (2022·新高考全国 Ⅰ 卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A.[18，] B．[，] C.[，] D．[18，27] ►命题立意 考查 内容 本题以正四棱锥的外接球为情境，考查球的半径、球心到截面圆圆心的距离、三角形与外接圆半径之间的关系、球的体积公式和棱锥的体积公式，属于探索创新情境 命题 探源 参照人教A版必修第二册第120页习题8.3第5题、人教B版必修第四册第88页练习B第5题、第90页习题11­1A第15题命制 ►关键能力 (1)数学符号与抽象 序号 关键信息 数学符号与抽象 ① 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上 该球是正四棱锥的外接球 ② 该球的体积为36π 借助球的体积公式求出球的半径 (2)空间想象与逻辑思维能力 根据球的体积公式求出球的半径，设正四棱锥的高为h，底面边长为2a，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长和高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围．考生需要正确分析图形中基本元素及其相互关系，并能通过球内勾股关系和锥体体积公式用演绎、归纳和类比进行推理． (3)运算求解能力 由正四棱锥的侧棱长、底面边长、高之间的关系和锥体体积公式得出表达式后，通过消元得到正四棱锥体积关于侧棱长的函数，借用导数知识可求得最值，考查考生根据问题条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径的能力． C　解析：因为球的体积为36π，所以球的半径R＝3. 设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(h－3)2，所以6h＝l2，2a2＝l2－h2，所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h＝×(l2－)×＝(l4－)，所以V′＝(4l3－)＝l3().当3≤l<2时，V′>0；当2<l≤3时，V′<0.所以当l＝2时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为.又当l＝3时，V＝；当l＝3时，V＝，所以正四棱锥的体积V的最小值为.所以该正四棱锥体积的取值范围是[，]. 1．柱体的表面积和体积 S棱柱＝2S底面＋S侧面，V棱柱＝Sh(S为底面积，h为高). 2．锥体的表面积和体积 S棱锥＝S底面＋S侧面，V棱锥＝Sh(S为底面积，h为高). 3．台体的表面积和体积 S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面，V棱台＝h(S＋＋S′)(S，S′为上、下底面积，h为高). 4．球的表面积和体积 S球＝4πR2(R为球的半径)，V球＝πR3(R为球的半径). 1．(2021·新高考全国 Ⅰ 卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 B　解析：设圆锥的母线长为l.由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，故πl＝2π×，解得l＝2. 2．若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的表面积为(　　) A．90＋72 B．90＋27 C．90＋72 D．90＋27 A　解析：由已知可得正四棱台的上底面的面积为32＝9，下底面的面积为92＝81.又侧棱长是6，所以侧面的高为＝3，所以该正四棱台的表面积为9＋81＋4××(3＋9)×3＝90＋72. 3．(2023·湖北武汉二模)某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15 cm，高为10 cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为(　　) A． cm B． cm C．4 cm D．5 cm D　解析：大圆柱的表面积为2×152π＋10×2×15π＝750π(cm2)，小圆柱侧面积为10×2πr＝20πr(cm2)，上、下底面积之和为2πr2 cm2，所以加工后工件的表面积为(750π＋20πr －2πr2)cm2.当r＝＝5 (cm)时，工件加工后的表面积最大． 4．(2023·广东湛江二模)如图，将一个圆柱2n(n∈N*)等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为(　　) A．10π B．20π C．10nπ D．18π A　解析：显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积．设圆柱的底面半径为r，高为h，则2rh＝10，所以圆柱的侧面积为2πrh＝10π. 求几何体的表面积的方法 (1)基本思路：将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这