19 中篇 专题三 微点培优（三）概率与统计的创新问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

微点培优(三)　概率与统计的创新问题 [对应学生用书P54] 概率与统计是高考命题创新改革的“主阵地”之一．概率统计知识与其他知识交汇融合，涉及面广，内涵丰富，此类问题综合性强，集中体现了对数学抽象、逻辑思维和数据处理等素养的考查，在选拔考试时有较强的区分度，因而备受命题专家的青睐． [例1] (2023·新课标 Ⅰ 卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(Xi)＝qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y). 解：(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋A， 所以P(A)＝P(BA＋A)＝P(BA)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝pi＋， 所以pi＋1－＝(pi－)， 又p1－＝－＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以pi－＝×()i-1， 所以pi＝＋×()i-1. (3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi. Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn， 则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn， 由(2)知，pi＝＋×()i-1， 所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝＋×[1＋＋()2＋…＋()n-1]＝＋×＝＋×＝－·()n. ►核心提炼 解题 有法 (1)第一步：用字母表示出随机事件；第二步：根据全概率公式及概率的乘法公式求解 (2)第一步：设第i次投篮的人是甲的概率为pi，确定出pi和pi＋1的递推关系；第二步：根据递推关系，构造等比数列求出pi. (3)第一步：设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，求出Xi的分布列和数学期望；第二步：表示出随机变量Y，根据题目中所给的结论写出E(Y)；第三步：根据pi＝＋×()i-1，利用分组求和法及等比数列的前n项和公式求出E(Y) 创新 解读 创新点：本题属于题型创新题，将概率问题与数列相交汇，以数列为解题工具解决概率问题． 考查点：全概率公式，概率的乘法公式，概率与数列的综合问题 [练1] (2023·山东日照一模)第22届国际足联世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其他因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0. ①试证明：{pn－}为等比数列； ②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小． 解：(1)方法一　X的所有可能取值为0，1，2，3，在一次扑球中，扑到点球的概率p＝×××3＝， 所以P(X＝0)＝C()3＝，P(X＝1)＝C··()2＝，P(X＝2)＝C·()2×＝，P(X＝3)＝C()3＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝×1＋×2＋×3＝＝. 方法二　依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为p＝3×××＝，门将在前三次扑到点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知X～B(3，)，所以P(X＝k)＝C×()k×()3-k，k＝0，1，2，3. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的期望E(X)＝3×＝. (2)①第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，则当n≥2时，第n－1次传球之前球在甲脚下的