18 中篇 专题三 第三讲 第二课时 概率与统计综合应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第二课时　概率与统计综合应用 [对应学生用书P49] [例1] (2023·山东济宁一模)某市航空公司为了解每年航班正点率x%对每年顾客投诉次数y(单位：次)的影响，对近8年(2015年～2022年)每年航班正点率x%和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值． i i iyi (xi－)2 600 592 43 837.2 93.8 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)该市航空公司预计2024年航班正点率为84%，利用(1)中的经验回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数； (3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式为＝，＝－. 解：(1)由题意知＝＝75，＝＝74， 所以＝＝＝－6， 所以＝－＝74＋6×75＝524，所以＝－6x＋524. (2)当x＝84时，＝20， 所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为20次． (3)X可取0，1，2，3，4， P(X＝0)＝C()4＝，P(X＝1)＝C·×()3＝，P(X＝2)＝C·()2×()2＝，P(X＝3)＝C·()3×＝，P(X＝4)＝C()4＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2. 离散型随机变量的期望与方差的解题模型 [练1] (2023·山东临沂一模)某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间[60，100]，从中随机抽取1 000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图． (1)若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30%，试估计获奖分数线； (2)采用分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人．记成绩在[90，100]的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解：(1)根据直方图可知，成绩在[80，100]的频率(0.025＋0.010)×10＝0.35>0.3， 成绩在[90，100]的频率0.1<0.3， 因此获奖的分数线应该在[80，90)之内． 设分数线x∈[80，90)，使得成绩在[x，100]的概率为0.3，即(90－x)×0.025＋0.010×10＝0.3，可得x＝82. 所以获奖分数线划定为82. (2)成绩在[80，90)的人数为7×＝5， 成绩在[90，100]的人数为7－5＝2， 则ξ的可能取值为0，1，2， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. [例2] (2023·山东泰安一模)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额． (1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元．求： ①员工所获得的奖励为1 000元的概率； ②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望． (2)公司对奖励额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 解：(1)设员工所获得的奖励额为X， ①P(X＝1 000)＝＝， 所以员工所获得的奖励额为1 000元的概率为. ②X所有可能的取值为400，1 000， P(X＝400)＝＝，P(X＝1 000)＝1－P(X＝400)＝， 所以X的分布列为 X 400 1 000 P 所以员工所获得的奖励额的期望为E(X)＝400×＋1 000×＝700(元). (2)根据公司预算，每个员工的平均奖励额为1 000元，所以先寻找期望为1000元的可能方案．对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200，200，200，800)的方案，因为1 000元是面值之和的最大值，所以期望不可能为1 000元；如果选择(800，800，800，200)的方案，因为1000元是面值之和的最小值，所以期望不可能为1 000元．因此可能的方案是(800，800，200，200)，记为方案1.对于面值600元和400元的情况，同理排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案，所以可能的方案是(400，40