14 中篇 专题二 微点培优（二）三角函数中的创新题型（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

微点培优(二)　三角函数中的创新题型 [对应学生用书P34] 三角函数及解三角形一直是高考命题创新改革的“主阵地”，近几年高考试题中，一些构思精巧、新颖别致，极富应用性、思考性和挑战性的三角函数创新题型频频出现，给平淡的数学题增添了灵气和活力．这些创新题具有很好的区分和选拔功能，是考查学生数学素养和能力的极好素材． [例1] 《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约 m，肩宽约为 m，“弓”所在圆的半径约为1.25 m，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为(　　) A． m B． m C． m D．2 m B　解析：如图，的长为l＝＋＋＝(m)，弓所在圆的半径R＝AO＝ (m). 所以所对的圆心角∠AOB＝＝，所以两手之间的距离AB＝2R sin ＝2××＝(m). ►核心提炼 解题有法 由题意分析出这段弓的弧形部分的长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长 创新解读 创新点：以掷铁饼的动作要领为命题载体，结合“五育”命题要求，把弧长公式与体育动作完美结合． 考查点：弧长公式 [练1] 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．设扇形的面积为S1 ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为(　　) A.(3－)π B．(－1)π C.(＋1)π D．(－2)π A　解析：根据扇形与圆的面积公式可知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比．设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，则＝ .又α＋β＝2π，解得α＝(3－)π.故选A. [例2] (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　) A．346 B．373 C．446 D．473 B　解析：如图，分别过C，B两点作CE∥C′B′，BF∥A′B′，分别交BB′，AA′于E，F. 易知BE＝100，BF⊥AA′，且∠ABF＝45°，所以AF＝BF＝A′B′，要求AA′与CC′的高度差，即求AF＋BE，即求BE＋A′B′.在△BCE中，＝＝tan ∠BCE＝tan 15°＝tan (45°－30°)＝＝2－，解得CE＝100(2＋)，即B′C′＝100(2＋).在△A′B′C′中，∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°，所以∠C′A′B′＝75°.由正弦定理，得＝，所以A′B′＝·B′C′＝·B′C′＝100(＋1)≈273，所以AA′－CC′＝BE＋A′B′≈100＋273＝373.故选B. ►核心提炼 解题有法 将已知量和所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案 创新解读 创新点：以世界关注的热点珠穆朗玛峰的高度为命题情景，与解三角形知识无缝链接． 考查点：正弦定理的实际应用 [练2] 如图，由线段AB，AC和优弧BC围成的“水滴”，AB，AC与优弧BC所在的圆分别切于点B，C，B，C所在的直线与水平方向垂直．已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为7∶4，则cos ∠BAC＝(　　) A. B． C． D． A　解析：设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图所示． 易知“水滴”的水平宽度为OA＋R，竖直高度为2R，则由题意知＝，得OA＝R. 因为AB与优弧BC所在的圆相切于点B，所以OB⊥AB， 所以在Rt△ABO中，sin ∠BAO＝＝＝， 由对称性可知，∠BAO＝∠CAO，则∠BAC＝2∠BAO， 所以cos ∠BAC＝1－2sin2∠BAO＝1－2×()2＝.故选A. [例3](2023·湖南邵阳二模)人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100 m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°.假设A，B，C三