12 中篇 专题二 第三讲 第一课时 解三角形的基本运用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第三讲　三角函数与解三角形(大题突破) [对应学生用书P28] [典例] (2022·新高考全国 Ⅰ 卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． ►命题立意 考查 内容 本题以二倍角公式、两角和的余弦公式、正弦定理、基本不等式为载体，考查三角恒等变换与化简求值，属于课程学习情境 命题 探源 参照人教A版必修第一册第219页例4(2)、人教B版必修第三册第94页5(2)、第101页例2(1)命制．课程标准要求“经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系”“理解基本不等式≤(a，b＞0).结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题”，学业要求是“能够从函数观点认识不等式，并运用函数的性质解不等式” ►关键能力 (1)数学符号与抽象 序号 关键信息 数学符号与抽象 ① ＝ 根据二倍角公式以及两角和的余弦公式可将条件转化成sin B＝－cos C>0，再结合C＝，0<B<，即可求出B ② 求的最小值 由(1)知，C＝＋B，A＝－2B，再利用正弦定理、二倍角公式将化成4cos 2B＋－5，然后利用基本不等式即可解出 (2)逻辑思维和运算求解能力 理解并会运用二倍角公式、正弦定理、基本不等式等进行计算．考查学生根据问题的条件，寻找与设计合理、简洁的运算途径的能力，以及对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的能力． (1)因为＝＝＝， 所以sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝. 又0<B<，所以B＝. (2)由(1)知，sin B＝－cos C>0，所以<C<π，0<B<. 又sin B＝－cos C ＝sin (C－)， 所以C＝＋B，即有A＝－2B. 所以＝＝＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5. 当且仅当cos 2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 第一课时　解三角形的基本运用 [对应学生用书P29] [例1] (2023·新课标 Ⅱ 卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC×sin ∠ADC＝2××1×DC×＝，解得DC＝2， 所以BD＝DC＝2，所以a＝4. 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7， 所以c＝. 方法一　在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC＝1＋4－2＝3， 所以b＝， 在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝， 所以sin B＝＝. 所以tan B＝＝. 方法二　在△ABD中，由正弦定理， 得＝， 所以sin B＝＝，B＜∠ADC＝， 所以cos B＝＝. 所以tanB＝＝. (2)方法一　因为D为BC的中点，所以BD＝DC. 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得＝－，得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2. 在△ABC中，由余弦定理， 得cos ∠BAC＝＝＝－， 所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝bc·＝bc＝ ＝， 解得bc＝4. 方法二　因为D为BC的中点，所以BC＝2BD. 在△ABD与△ABC中，由余弦定理， 得cos B＝＝， 整理，得2BD2＝b2＋c2－2＝6， 得BD＝，所以a＝2. 以下同方法一． 用正、余弦定理进行边、角运算的方法 第一步选定理： (1)若式子中含有角的余弦值或边的二次式，则考虑用余弦定理； (2)若式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理； (3)若特征不明显，则考虑两个定理都有可能用到． 第二步求解：利用正、余弦定理求角、求边、求值． [练1] (2023·山东枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)，n＝(cos (－B)，cos (π－A))，且m⊥n. (1)求A； (2)若c＝3，△ABC的面积为，求a. 解：(1)由n＝(cos (－B)，cos (π－A))，得n＝(sin B，－cos A). 又m⊥n，所以a sin B－b cos A＝0. 由正弦定理得sin A sin B－sin B cos A＝0，