11 中篇 专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第二讲　三角恒等变换与解三角形(小题专攻) [对应学生用书P26] [典例] (2023·新课标 Ⅰ 卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ ►命题立意 考查 内容 本题以三角函数式求值为载体，考查两角和的正弦公式、二倍角公式，属于课程学习情境．在课程标准中内容要求是“能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系”，学业要求是“掌握一些基本函数类(一元一次函数、反比例函数、一元二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等)的背景、概念和性质” ►关键能力 (1)数学符号与抽象 序号 关键信息 数学符号与抽象 ① cos (2α＋2β) 考虑利用二倍角公式求值 ② sin (α－β)＝， cos αsin β＝ 利用两角差正弦公式展开求sin αcos β的值进而求sin (α＋β)的值 (2)运算求解能力 利用两角差正弦公式展开后再运用两角和正弦公式求值，进而利用余弦二倍角公式求解. 考查学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理的能力． B　解析：依题意，得所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×()2＝. 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan (α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan2α＝. 3．辅助角公式 一般地，函数f(α)＝a sinα＋b cos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin (α＋φ)(其中tan φ＝)或f(α)＝cos (α－φ)(其中tan φ＝). 1．(2023·山东烟台二中模拟)已知cos (＋)＝，则sin α＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C．－ D．－ D　解析：因为－sin α＝cos (α＋)＝cos 2(＋)＝2cos2(＋)－1＝2×()2－1＝，所以sinα＝－.故选D. 2．(2023·湖南长沙二模)若＝，则cos 2α的值为(　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：由＝，可得tan (α－)＝，所以tan α＝ tan (＋α－)＝＝＝2，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－.故选A. 3．(2023·山东济南模拟)已知sin (α＋)＝＋cos α，则sin (2α＋)＝(　　) A．－ B． C．－ D． B　解析：因为sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝＋cos α，即sin α＋cos α＝＋cos α，所以sin α－cos α＝，所以sin αcos －cos αsin ＝，即sin (α－)＝，所以sin (2α＋)＝sin (2α－＋)＝cos (2α－)＝1－2sin2(α－)＝.故选B. 4．(2023·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝3sinx＋4cos x，且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立．若角θ的终边经过点P(4，m)，则m＝________． 3　解析：f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin (x＋φ)，其中tan φ＝，φ∈(0，)，则f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立，即θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得θ＝－φ＋2kπ，k∈Z，tan θ＝tan (－φ)＝＝，则＝，所以m＝3. 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换，特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等； (2)项的分拆与角的配凑，如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次，正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化，一般是切化弦． 1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． C　解析：因为在△ABC中a cos B－b cos A＝c，所以由正弦定理得sin Acos B－sin B cos A＝sin C＝sin (B＋A)，则2sin Bcos A＝0.在△ABC中，sin B≠0，则cos