09 中篇 专题一 微点培优（一）数列的递推关系与子数列问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

微点培优(一)　数列的递推关系与子数列问题 [对应学生用书P20] 高考试题中求数列的通项公式，一般不单独考查，往往是作为解答题的一个小题，与数列求和综合考查，解决此类问题总的原则是转化为等差数列、等比数列求解． [例1] (1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项公式可能是an＝(　　) A. 5－3n B．3·2n-1－1 C. 5－3n2 D．5·2n-1－3 (2)(2023·贵州六盘水模拟)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋an·an＋1，则数列{an}的通项公式为an＝(　　) A． B． C．－n D． (1)D　(2)D　解析：(1)∵a1＝2，an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，所以{an＋3}是以5为首项，2为公比的等比数列．所以an＋3＝5×2n-1.所以an＝5×2n-1－3.故选D. (2)由an＋1＝an＋an·an＋1，可得－＝－1.又＝，所以数列{}是以为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－(n－1)＝－n，所以an＝.故选D. 常用的几种构造方法 (1)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)； (2)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0，1，f(n)≠0)，构造an＋1＋f(n＋1)＝p[an＋f(n)]； (3)若数列{an}满足an＋1＝qan＋p·qn+1(n∈N*，p≠0，1，q≠0)，则两边同除以qn+1，构造等差数列{}； (4)若数列{an}满足an－an＋1＝kanan＋1(k≠0)，则两边同除以anan＋1，构造等差数列{}． [练1] (2023·山西大同模拟)在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*).若an>980，则n的最小值是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 C　解析：因为an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)，所以an－n＝2[an－1－(n－1)](n≥2，n∈N*) .因为a1＝3，所以a1－1＝2，所以数列{an－n}是首项和公比都是2的等比数列，所以an－n＝2n，即an＝2n＋n.因为an－an－1＝2n-1＋1>0，所以数列{an}是递增数列．因为a9＝521<980，a10＝1 034>980，所以满足an>980的n的最小值是10.故选C. [练2] (2023·四川攀枝花三模)已知数列{an}满足2nan＝2n+1an＋1－1，且a1＝.若an<，则n的最小值为(　　) A.3 B．4 C．5 D．6 B　解析：数列{an}满足2nan＝2n+1an＋1－1，所以2n+1an＋1－2nan＝1.又a1＝，所以{2nan }是以1为首项，1为公差的等差数列．所以2nan＝1＋(n－1)＝n，所以an＝.因为＝＝＝，所以{an}从第2项起为递减数列．因为a1＝，a2＝，a3＝＝>，a4＝＝<，…，所以n的最小值为4.故选B. [练3] 在数列{an}中，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，则a2 024的值为(　　) A．6 071×22 024 B．6 071×22 023 C．6 071×22 022 D．无法确定 C　解析：因为a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，所以S2＝a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝5.因为Sn＋1＝4an＋2，所以Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减得，an＋2＝4an＋1－4an，所以an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，所以{an＋1－2an}是以a2－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1－2an＝3×2n-1.两边同除以2n+1，得－＝，所以{}是以＝为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×＝，所以an＝×2n＝(3n－1)×2n-2，所以a2 024＝(3×2 024－1)×22 022＝6 071×22 022.故选C. 数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差数列、等比数列或其他特征)求解原数列． 数列中奇、偶项问题的常见题型： (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或anan＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确的奇、偶项问题． [例2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＋an＝4n＋2(n∈N*)，则数列{}的前2 024项的和为(　　) A． B． C． D． A　解析：因为a1＝2，an＋1＋an＝4n＋2(n∈N*)(*)，所以a2＋2＝6，解得a2＝4.因为a