07 中篇 专题一 第一讲 数列（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

[对应学生用书P11] 新高考三年考情 第一讲　数列(小题专攻) [对应学生用书P12] [典例] (2023·新课标 Ⅱ 卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A.120 B．85 C.－85 D．－120 ►命题立意 考查内容 本题以等比数列为载体，考查等比数列前n项和公式，属于课程学习情境 ►关键能力 (1)数学符号与抽象 关键信息 数学符号与抽象 S4＝－5，S6＝21S2 设等比数列的公比为q，q≠0. 思路一：构建方程组求解；思路二：利用等比数列前n项和性质求解 (2)运算求解能力 通过等比数列前n项和公式构建关于a1和q的方程组进行正确运算，或利用等比数列前n项和性质进行正确运算、变形和数据处理；要求学生能够了解运算法则及其适用范围，正确进行运算． C　解析：方法一　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则，化简整理得所以S8＝＝×(1－44)＝－85. 方法二　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得，化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85. 1．等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). 2．等比数列的通项公式：an＝a1qn-1＝amqn－m(n，m∈N*). 3．等差数列前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. 4．等比数列前n项和公式： Sn＝ 1．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 C　解析：方法一　由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9.设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C. 方法二　设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5　①，由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45　②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20. 2．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A． B． C．15 D．40 C　解析：方法一　若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍去)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15. 方法二　由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2， 所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15. 3．(2023·广东江门一模)已知等差数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，公差d<0，<－1，则使得Sn>0的最大整数n为(　　) A．9 B．10 C．17 D．18 C　解析：因为<－1<0，所以a10，a9异号．因为d<0，所以a9>0，a10<0.又<－1，所以a10<－a9，即a10＋a9<0.因为S17＝＝17a9>0，S18＝＝9(a10＋a9)<0，所以满足Sn>0的最大整数n为17.故选C. 4．(2023·河北衡水中学三模)公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2a1.若a1，a2，ak1，ak2，ak3依次成等比数列，则k3＝(　　) A．81 B．63 C．41 D．32 C　解析：因为Sn＝n2a1，所以S1＝a1，S2＝4a1，故a2＝3a1.设等差数列{an}的公差为d，则d＝2a1，所以an＝(2n－1)a1.因为a1，a2，ak1，ak2，ak3依次成等比数列，＝3，所以ak3＝a1×34＝81a1，所以(2k3－1)a1＝81a1，所以k3＝41.故选C. 5．(2023·安徽马鞍山一模)若数列{an}是公差为2的等差数列，S5<3a4，写出满足题意的一个通项公式an＝________． 2n－4(答案不唯一)　解析：设等差数列{an}的首项为a1，且公差d＝2，则S5<3a4⇔5a1＋10d<3a1＋9d，即a1<－1，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－2＋a1.令k＝－2＋a1，则k<－3，所以an＝2n＋k(k<－3)，所以可取an＝2n－4. 等