05 上篇 考点四 平面向量（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

[对应学生用书P9] 1．(2023·新课标 Ⅰ 卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 D　解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)·(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1. 2．(2022·新高考全国 Ⅰ 卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n B　解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B. 3．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　解析：因为a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.故选D. 4．(2022·新高考全国 Ⅱ 卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 C　解析：c＝(3＋t，4)，cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C. 5．(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． D　解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0. 通解(运用两向量的夹角公式求解)　又a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，∴(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且|a－c|＝|2a＋b|＝＝＝，|b－c|＝|a＋2b|＝＝＝，∴cos 〈a－c，b－c〉＝＝. 优解(数形结合法)　如图， 令＝a，＝b，则＝c，∴＝a－c.＝b－c，而|AB|＝，|AC|＝|BC|＝， 在△ABC中，由余弦定理得cos 〈a－c，b－c〉＝cos 〈，〉＝cos ∠ACB＝＝，故选D. 光速解(坐标法)　如图(图同优解)，令向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B，以，分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝－a－b＝(－1，－1)，∴a－c＝(2，1)，b－c＝(1，2)，则cos 〈a－c，b－c〉＝＝＝. 6．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A． B．3 C．2 D．5 B　解析：方法一　由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝(＋)·(－＋)＝||2－||2，由题意知||＝||＝2，所以·＝4－1＝3，故选B. 方法二　以点A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，则＝(1，2)，＝(－1，2)，·＝－1＋4＝3，故选B. 7．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 C　解析：因为|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，又因为|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，所以9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，所以a·b＝1.故选C. 8．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] D　解析：依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4). 因为PC＝1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动．设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π]，所以＝(3－cos θ，－sin θ)，＝(－cos θ，4－sin θ)，所以·＝(－cos θ)×(3－cos θ)＋(－sin θ)×(4－sin θ)＝cos2θ－3cosθ－4sin θ＋sin2θ＝1－3cosθ－4sin θ＝1－5sin (θ＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，因为－1≤sin (θ＋φ)≤1，所以－4≤1－5sin (θ＋φ)≤6，即·∈[－4，6].故选D. 9