2024届高考数学压轴题突破训练

2024年高考数学压轴题突破训练 1．(2023·马鞍山模拟)已知函数f(x)＝＋2ln x. (1)求函数g(x)＝f(x)－x的零点； (2)证明：对于任意的正实数k，存在x0>0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有k>f(x)． 2．(2023·湖北联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点，P，Q是椭圆C上的两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线OP与OQ的斜率之积为－(O为坐标原点)，点D为射线OP上一点，且＝，若线段DQ与椭圆C交于点E，设＝λ(λ>0)． ①求λ的值； ②求四边形OPEQ的面积． 3．(2023·马鞍山模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，离心率e＝. (1)求双曲线C的方程； (2)设P，Q为双曲线C上异于点M的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝2k1k2，求证：直线PQ过定点． 4．(2023·邵阳模拟)已知函数f(x)＝excos x，g(x)＝x－cos x. (1)对任意的x∈，tf(x)－g′(x)≥0恒成立，求实数t的取值范围； (2)设方程f(x)＝g′(x)在区间 (n∈N*)内的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，…，求证：xn＋1－xn>2π. 5．(2023·运城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A，B分别为C上两个不同的动点，O为坐标原点，当△OAB为等边三角形时，|AB|＝8. (1)求C的标准方程； (2)抛物线C在第一象限的部分是否存在点P，使得点P满足＋＝4，且点P到直线AB的距离为2？若存在，求出点P的坐标及直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 6．(2023·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝x3－kx2＋. (1)若f(x)在x＝2处取得极值，求k的值； (2)若g(x)＝f(x)＋(x－1)ex，当0≤k<时，判断函数g(x)的零点个数． 7．(2023·青岛模拟)甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，. (1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及均值E(X)； (2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，Pn＝aPn－1＋bPn－2＋cPn－3(n≥4)，求a，b，c；并证明：答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大． 8．(2023·长沙模拟)已知函数f(x)＝e－ax＋sin x－cos x. (1)若a＝－1，x≥－，求证：F(x)＝f′(x)－x－1有且仅有一个零点； (2)若对任意x≤0，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案 1．(1)解　g(x)＝f(x)－x＝＋2ln x－x，定义域为(0，＋∞)， g′(x)＝－＋－1＝－2≤0， 所以函数g(x)是(0，＋∞)上的减函数， 而g(1)＝0，所以函数g(x)的零点是1. (2)证明　由(1)可知，当x>1时，g(x)<0， 即＋2ln x－x<0⇒2ln x<x－(x>1)， 因此有ln x＝2ln<－<(x>1)， 进而有ln<(x>1) ⇒2ln<2(x>1) ⇒ln x<2(x>1)， 当k>0时，>等价于 x>， >4等价于x>4， 设，4,1三个数中最大的数为x0， 所以当x∈(x0，＋∞)时，有k>＋4>＋2ln x＝f(x)． 2．解　(1)依题意有＝， ＋＝1，a2＝b2＋c2， 解得a＝2，b＝，c＝1， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)①设P，Q， 因为＝，则D. 因为P，Q均在椭圆上， 则＋＝1，＋＝1. 又kOP·kOQ＝－， 则＝－⇒3x1x2＋4y1y2＝0. 因为＝λ， 则 ＝λ， 可得E. 又E在椭圆上， 则＋ ＝1⇒ 4λ2＋＋＋ 4λ ＝(1＋λ)2⇒4λ2＋1＝(1＋λ)2⇒λ＝(λ＝0舍去)． ②由①可知＝⇒S△PEQ＝S△QPD＝S△OPQ， 则四边形OPEQ的面积为S△OPQ. 当直线PQ斜率为0时，易知kOP＝－kOQ， 又kOP·kOQ＝－，则kOP＝±. 根据对称性不妨取kOP＝，y1>0， 由 解得 则P，Q， 此时S△OPQ＝×2×＝. 当直线斜率不为0时， 如图，设PQ的方程为x＝my＋t， 将直线方程与椭圆方程联立有 消去x得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0. 由题意知，其判别式大于0，则由根与系数的关系，得y1＋y2＝， y1y2＝. 3x1x2＋4y1y2＝3(my1＋t)(my2＋t)＋4y1y2＝0⇒(3m2＋4)y1y2＋3mt(y1＋y2)＋3t2＝0 ⇒(3m2＋4)－＋3t