专题63 离散型随机变量及其分布列和数字特征-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试

专题63 离散型随机变量及其分布列和数字特征 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：离散型随机变量 题型二：离散型随机变量的分布列 题型三：离散型随机变量的均值 题型四：常用分布列的均值 题型五：离散型随机变量的方差 题型六：常用分布的方差 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2.理解并会求离散型随机变量的数字特征. 【考点预测】 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 3.离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1，2，…，n)； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 4.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 5.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 【常用结论】 随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量. 【方法技巧】 1.分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 2.离散型随机变量分布列的求解步骤 3.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 二、【题型归类】 【题型一】离散型随机变量 【典例1】（2021·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考三模）下面说法错误的是（    ） A．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的； B．利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值； C．两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1； D．在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽取的可能性越大． 【典例2】（多选）（2023·全国·校联考模拟预测）麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且（，2，…n），定义X的信息熵，则下列说法正确的有（    ） A．n=1时 B．n=2时，若，则与正相关 C．若，， D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且（j=1,2,…,m）则 【典例3】（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）在财务审计中， 我们可以用 “本・福特定律” 来检验数据是否造假. 本・福特定律指出， 在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中， 首位非零的数字是这九个事件不是等可能