专题62 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试

专题62 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：相互独立事件与互斥事件 题型二：独立事件的乘法公式 题型三：计算条件概率 题型四：条件概率性质的应用 题型五：利用全概率公式求概率 题型六：利用贝叶斯公式求概率 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解两个事件相互独立的含义. 2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率. 【考点预测】 1.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与__，与B，与也都相互独立. 2.条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)两个公式 ①利用古典概型，P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). 3.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称上面的公式为全概率公式. 【常用结论】 1.计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. 2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 【方法技巧】 1.求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 2.求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝. 3.利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 二、【题型归类】 【题型一】相互独立事件与互斥事件 【典例1】（2023·全国·模拟预测）、为两个事件，下列说法正确的是（    ） A． B．若，，，则、为独立事件 C．若，，，则、为互斥事件 D．，，则 【典例2】（2023·重庆·统考模拟预测）已知事件A，B满足，，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 【典例3】（2023·湖南常德·统考一模）以下说法正确的是（    ） A．89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95 B．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点 C．相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强 D．已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥 【题型二】独立事件的乘法公式 【典例1】（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）下列说法正确的是（    ） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．对于随机事件与，若，，则事件与独立 C．若随机变量，，若最大，则 D．设随机变量服从正态分布，若，则 【典例2】（2023·吉林·统考一模）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．与互斥 C．与相互独立 D．与互为对立 【典例3】（2023·全国·模拟预测）为了响应国家出台的节能减排号召，节能灯应运而生．现在有两箱同种型号的节能灯用两种装箱包装，第一箱有10个节能灯，其中有2个次品，第二箱有12个节能灯，其中有3个次品．下列说法正确的是（    ） A．若从第一箱中任取1个节能灯，则