8.6 等差数列前n项和最值问题 讲义-2024届高三数学一轮专题复习

8.6 等差数列前n项和最值问题 【抢分大招】 求等差数列前n项和的最值，常用的方法： （1）等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n，结合二次函数的图像求最值； （2）等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 小贴士：将等差数列的和求出来，整理成关于n的二次函数式，结合二次函数图像求得和的最大值；或利用通项公式求得项的正负情况进行判定. 【典例1】数列和函数，已知，， 的前项和的最大值为（ ） A.108 B. 164 C.251 D.180 【答案】A 【解析】，， .当n＞1时（常数）由定义可知为等差数列，首项，公差，前n项和，配方得，，当时的值最大，最大值为.故选A. 【典例2】等差数列的前项和为，，，则取最小值时，的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】设等差数列的首项为，公差为，由于，，则，解得，．由得.故选C. 【抢分训练】 1.已知等差数列中则数列的前项和的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，，.所以，∴当或 时取最小值为.故选A. 2. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是（ ） A.5 B. 6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】依题意得2a6＝4，2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6.故答案为7.故选C. 3.等差数列的前项和为，且，.设，则当数列的前项和取得最大值时的值为（ ） A．23 B．25 C．23或24 D．23或25 【答案】D 【解析】，等差数列的公差，且 则，且，由，知的前23项为正数，为负数，为正数，从第27项起各项都为负数，而与是绝对值相等，符号相反，相加为零， ，之后越来越小，所以数列的前项和取得最大值时，的值为，故选D. 4.设等差数列的前n项和为，若，则满足的最小正整数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以公差，因为，所以，所以，又，所以，所以满足的最小正整数的值为.故选C. 5.等差数列的前项和为，，，则取最大值时________． 【答案】6或7 【解析】为开口向下的二次函数，又,所以对称轴为因为，所以当6或7时，取最大值.故答案为6或7. 6.已知数列的前n项和，求： （1）数列的通项公式； （2）求数列 的前n项和的最小值. 【解析】 （1）当时，， 当时， 即：， 时，不满足， . （2）=， 时，最小，最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$