8.5 等差数列前n项和性质及其应用 讲义-2024届高三数学一轮专题复习

8.5 等差数列前n项和性质及其应用 【抢分大招】 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和. （1）,公差； （2）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. （3）也是等差数列. （4）S2n－1＝(2n－1)an. （5）若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项). 小贴士：根据题目信息，选择等差数列求和公式中恰当的性质进行计算，会大大提高解题得速度和质量. 【典例1】 （1）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于________. （2）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为________. （3）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，＝6， 则S2 016等于________. 【解析】 （1）由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列. 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45. （2）因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146， a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180， 又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2， 所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60， 所以Sn＝＝＝390，即n＝13. （3）由等差数列的性质可得也为等差数列. 设其公差为d.则＝6d＝6，∴d＝1. 故＋2 015d＝－2 014＋2 015＝1， ∴S2 016＝1×2 016＝2 016. 【典例2】有一等差数列共有项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，若最后一项和第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差和项数. 【解析】由题意知： ，解得， 又因为 故答案为首项为，公差为，项数为8. 【抢分训练】 1.已知等差数列的前n项和为，且，则＝（　　） A.0 B.10 C.15 D.30 【答案】C 【解析】由等差数列性质可知：，.故选C. 2.在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ） A.0 B.2018 C. D.2020 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.，，解得. .故选D. 3.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ） A.6斤 B.7斤 C.8斤 D.9斤 【答案】D 【解析】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.故选D. 4.已知是公差不为零的等差数列，且，则________ 【答案】 【解析】由条件可知，. 故答案为. 5.已知数列{an}是等差数列，{an}的前n项和,公差 . 【答案】2 【解析】由，故即.故答案为2. 6.在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于________. 【答案】 【解析】记数列的前11项和为，因为，是方程的两根，所以可得，所以...故答案为. 7.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 【答案】C 【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块，所以， 即 即，解得，所以. 故选C 8.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 【答案】 【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以的前项和为，故答案为. 学科网（北京）股份有限公司 $$