8.3 等差数列中基本量的求解 讲义-2024届高三数学一轮专题复习

8.3 等差数列中基本量的求解 【抢分大招】 1.等差数列的概念 （1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数). （2）若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 （1）若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. （2）等差数列的前n项和公式 (其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项). 小贴士：等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 【典例1】 （1）在等差数列，，，则公差（ ） A. B.1 C.2 D.3 （2）已知等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B C 【解析】（1），.故选B. （2）.故选C. 【典例2】已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A.7 B.10 C.63 D.18 【答案】C 【解析】等差数列的首项为，公差为.∴，， ∴，∴，即， ∴.故选C 【抢分训练】 1.在等差数列{an}中，a4+a8＝0，a3+a6＝9，则公差d＝（ ） A. B. C.3 D.﹣3 【答案】D 【解析】由题意知等差数列中，，，，解得， 故选D. 2.已知是等差数列，，.若，则（ ） A.98 B.99 C.100 D.101 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则，解得，所以，由，解得.故选C. 3.《周脾算经》有记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同，晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即所测定的影子的长度，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长变化量相同，周而复始，若冬至晷长最长是一丈三尺五寸，夏至晷长最短是一尺五寸，（一丈等于10尺，一尺等于10寸），则秋分节气的晷长是（ ） A.七尺五寸 B.二尺五寸 C.五尺五寸 D.四尺五寸 【答案】A 【解析】由题意从夏至到秋分到冬至的过程中晷长为等差数列，设为.则，,则公差.秋分晷长为.所以秋分节气的晷长是七尺五寸 故选A. 4. 2和8的等差中项是________. 【答案】5 【解析】2和8的等差中项为.故答案为5. 5.已知为等差数列的前项和，且，，则______. 【答案】120 【解析】设等差数列的公差为，根据题意得，解得，， 所以.故答案为120. 6.已知是公差不为零的等差数列，且，则 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，因为，故，所以， 所以，所以，故答案为. 7.已知公差不为零的等差数列满足满足. （1）求的通项公式； （2）是否存在值，使得的前项和？ 【解析】（1）设的公差为， 因为是与的等比中项，所以. 因为，所以，解得， 所以. （2）因为，令， 则，解得. 所以存在为6，使得的值为27. 学科网（北京）股份有限公司 $$