8.2 数列的单调性与最值 讲义-2024届高三数学一轮专题复习

8.2 数列的单调性与最值 【抢分大招】 1.求数列的前n项和的最值，主要是两种思路： （1）研究数列的项的情况，判断的最值； （1）直接研究的通项公式，求的最值. 2.求数列的最值，主要有两种方法： （1）从函数角度考虑，利用函数的性质，求数列的最值； （2）利用数列离散的特点，考察或，然后判断数列的最值情况. 3.对数列不等式恒成立问题，主要有两种方法： （1）通过参变分离法转化为数列的最值问题求解； （2）通过分类讨论，解决恒成立. 小贴士：数列是一种很有特色的函数, 在高考中,经常需要研究函数的单调性和最值.实际上,数列的单调性和最值也是一个热点. 判断数列递增或递减数列，一般选择比差法，通过后项与前一项得差得正负进行判断；有时也选择比商法，商与1比较大小，得到单调性，及一步得到最值和参数的范围. 【典例1】若数列中的最大项是第项，则______. 【答案】 【解析】根据题意知：，解得；，解得，即，，故. 故答案为. 【典例2】设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为数列{an}是单调递增数列，所以an＋1－an>0 (n∈N*)恒成立.又an＝n2＋λn (n∈N*)，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)>0恒成立，即2n＋1＋λ>0.所以λ>－(2n＋1) (n∈N*)恒成立.而n∈N*时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，所以λ的取值范围为.故选C. 【大招快解】结合二次函数得图像，若满足{an}是单调递增数列，即上函数 是递增函数，只需满足对称轴.故选C. 【抢分训练】 1.数列是递增数列，则实数的取值范围是___________. A. B. C. D. 【答案】B 【大招快解】因为结合二次函数图像得知对称轴满足.故选B. 2.数列中，，（其中），则使得成立的的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得，…，由上可知，数列是以为周期的周期数列，又.∵，∴数列的前项和小于，加上为大于，∴使得成立的的最小值为.故选B. 3.数列中，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题可知，，对任意，都有成立，当时，可知数列单调递增，不符合题意；当时，若对任意，都有成立，则，即，解得，，此时，数列在上递减，上递增，或在上递减，上递增，故符合题意，所以实数的取值范围为.故选A. 4.已知数列的前项和为，且，数列满足，则数列的最小值为______. 【答案】 【大招快解】由，得，当时，.因为也适合上式，所以.由题意知，故当，即时，.故答案为. 5.已知数列，，若该数列是减数列，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 因为该数列是递减数列，所以即因为所以实数的取值范围是.故答案为. 6.数列满足则，_____.若存在n∈N*使得成立，求实数λ的最小值. 【解析】 当时， ， ， 两式相减得， 所以， 当时，满足上式. 综上所述. 存在使得成立的充要条件为存在使得， 设，所以，即， 所以单调递增，的最小项，即有的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$