8.1 数列的相关定义 讲义-2024届高三数学一轮专题复习

8.1 数列的相关定义 【抢分大招】 1.数列的概念 （1）数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. （2）数列与函数的关系:从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. （3）数列有三种表示法:它们分别是列表法、图象法和通项公式法. 2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. （2）递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 4. 强调an与Sn的关系： ，强调对代入检验. 小贴士：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 【典例1】数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6. （1）这个数列的第4项是多少？ （2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ （3）该数列从第几项开始各项都是正数？ 【解析】（1）当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6. （2）令an＝150，即n2－7n＋6＝150， 解得n＝16或n＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项. （3）令an＝n2－7n＋6＞0， 解得n＞6或n＜1(舍). ∴从第7项起各项都是正数. 【典例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式. 【解析】 （1）当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n； 因为a1也适合此等式， 所以an＝2n(n∈N*). （2）因为bn＝an＋an＋1， 且an＝2n，an＋1＝2n＋1， 所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n. 【抢分训练】 1.数列3，2，，，，…的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意，数列3，2，，，，…，可化为，，，，，…， 可得数列的一个通项公式.故选B. 2.已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 【答案】B 【解析】由a1>0，且an＋1＝an，则an>0.又＝<1，∴an＋1<an.因此数列{an}为递减数列，故选B. 3.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1.且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ） A.7 B.13 C.16 D.22 【答案】C 【解析】，，，，, 所以解下5个环所需的最少移动次数为16.故选C. 4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.189 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 【解析】三角形数的通项公式是，正方形数的通项公式是，所以两个通项都满足的是，三角形数是，正方形数是.故选C. 5.已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B.6 C.10 D.14 【答案】C 【解析】由题可知：，则.故选C. 6.已知数列，则a2020=（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】数列，满足，因为故得到=-3，再代入得到=，，进而可以发现数列是有周期的，周期为3，2020=，故