07 专题七 指数函数与对数函数期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一上期中专项复习 · 专题七 指数函数与对数函数 全国各地市期中真题精选 · 12 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 对数函数的图象与定点 对数函数图象与性质 · 指数对数性质综合 2025重庆一中期中 3 题 对数型函数的定义域与值域 函数最值 · 指数函数含参 · 对数函数含参 2026郑州外国语期中 3 题 指对幂比较大小：中间量法 指数与对数比较大小 · 指数对数比较大小 · 指数比较大小 2026杭四中下沙期中 5 题 指对幂比较大小：构造与放缩 指数比较大小 2025云南师大附中期中 4 题 指对函数含参问题 对数函数含参 · 指数函数含参 2025昭通一中联盟期中 5 题 函数零点问题 函数零点 2025昭通一中联盟期中 4 题 函数模型应用 函数模型应用 2026云南师大附中期中 5 题 指数幂的化简求值 指数幂运算 2025南京六校联考期中 5 题 对数运算与化简 指数幂与对数运算 · 对数运算 · 指数幂运算 2026常州金坛一中期中 5 题 换底公式与对数恒等式 对数运算 · 指数幂与对数运算 2025南通海门实验期中 4 题 指数函数的图象与定点 指数函数图象与性质 2026襄阳四中期中 4 题 指数函数单调性应用 指数函数图象与性质 · 指数型函数性质综合 2025福建三明二中期中 4 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 根式与分数指数幂互化：根指数为 时， 次根号下的 记为 （，），负指数幂 ，零指数幂 。 - 注意：偶次根号下开方结果非负，；奇次根号不变号，如 。 2. 指数函数定义：形如 的函数；定义域 ，值域 ，图象恒过点 。 - 注意：、 是指数型函数，其单调性仍由底数决定，但定点随平移改变。 3. 对数定义：（）；恒等式 ，。 - 对数函数 ：定义域 ，值域 ，图象恒过点 。 4. 图象与性质分类： 时 与 都单调递增； 时都单调递减。 - 记忆：底数互为倒数的指数函数图象关于 轴对称，如 与 。 5. 平移过定点结论： 恒过点 ； 恒过点 。 - 推广：含 的指数型函数 是偶函数图象，折点即 。 6. 反函数：指数函数 与对数函数 互为反函数，两图象关于直线 对称。 - 反函数的定义域、值域互换： 的值域 恰是对数函数的定义域。 7. 零点存在定理：若 在闭区间 上图象连续不断，且 ，则 在 内至少存在一个零点。 - 结合单调性可得"唯一零点"；零点即方程 的实根，也是图象与 轴交点的横坐标。 8. 常见函数模型：指数增长模型 、指数衰减模型 、对数模型 。 - 建模步骤：读题设变量→列解析式（注意自变量范围）→求值或最值→回归实际意义作答。 ▍二、法则与公式 1. 指数幂运算律：；；（）。 - 例：，。 2. 条件求值平方链：，，层层平方即可。 - 立方和：。 3. 对数运算律：；；（）。 - 逆用合并真数：。 4. 换底公式：；推论 ，，。 - 例：，，。 5. 常用结论：；；；；；。 6. 复合函数单调性"同增异减"：外层 、 的增减由底数与 比较决定，与内层单调性合成判断。 - 例： 的增区间与内层二次函数的减区间相同。 7. 对勾函数： 在 上递减、在 上递增，最小值 。 - 常配换元使用：、 等，换元后必须写出新元的取值范围。 ▍三、方法技巧 1. 指数幂的化简求值：先把根式化分数指数幂、负指数化正指数，再同底合幂；条件求值沿平方链 逐层平方；化简中遇偶次根号要加绝对值。 2. 对数运算与化简：异底先换底化同底，再逆用运算律把和差合并为真数的积商幂；遇 用 消项，遇对数方程先化同底再令真数相等。 3. 换底公式与对数恒等式：见 直接写 ；连等式 型先指对互化再取倒数换底；求 型把各条件换到同底后相加。 4. 含参对数求值（对数方程）：先用运算律去对数化为代数方程，解出参数后代回检验"真数大于零、底数大于零且不等于1"，不合者舍去。 5. 指数函数的图象与定点：识别图象先看定点 与升降定底数范围；求定点令指数为 ；含参数图象问题先取特殊点（如指数为0）再对照选项。 6. 指数函数单调性应用：由底数（或 型）定增减；解不等式时"增函数值大自变量大、减函数值值大者自变量小"脱去 ；复合函数单调区间必须限制在内层定义域内。 7. 对数函数图象与定点：第一步必求定义域（真数 ）；求定点令真数等于 ；由底数分 与 两类讨论图象位置、升降与取值。 8. 对数型函数定义域与值域：定义域列"所有真数大于零"的不等式组并取交集；值域先求内层函数范围，再按外层底数与 的大小套用对数函数的增减求范围。 9. 比较大小（指数类与对数类）：同底比幂用指数（对数）函数单调性，同指数比底用幂函数单调性；异类先与 、 分档，必要时化同指数（如 ）或搭中间量。 10. 含参、零点与模型应用：底数含参按 与 分类，"在区间上单调"端点可取等、"存在子区间单调"不可取等；零点用"端点异号＋单调性定唯一"；模型题求解后回归实际意义作答。 ▍四、易错警示 1. 偶次根号开方必须加绝对值：。 - 反例：把 写成 是错的，因 ，应为 。 2. 负数开奇次方根先化为幂：。 - 反例：认为"负数没有分数指数幂"而把该项直接丢弃，会导致计算缺项。 3. 对数运算律不可乱用：。 - 反例：；同样 。 4. 对数的底数必须大于零且不等于 。 - 反例： 无意义；用换底公式时若引入负底数（如 ）则整式作废。 5. 解对数方程必须检验真数与底数的限制。 - 反例：由 解出 时真数 ，必须舍去，只留 。 6. 单调区间必须写在定义域内，且区间之间不用 连接。 - 反例： 的增区间是 ，写成 就混入了使真数为负的 。 7. 换元后要守住新元的隐含范围。 - 反例：设 后必有 ，当 时 ；忽略范围会把闭区间上二次函数的最值端点求错。 　对数函数的图象与定点 方法要领　对数型函数 恒过定点 ，含参真数时令真数等于 最直接；判断图象与性质先按底数 或 分两类讨论，奇函数型先用“定义域关于原点对称”定参，再由“同增异减”定单调性，解不等式时用奇偶性移项后脱去 并联立定义域。 【例】（2025重庆一中期中 17）已知函数 （）为奇函数，且 。 （1）求实数 ， 的值； （2）判断 在定义域内的单调性，并说明理由； （3）解不等式 。 【答案】（1）；（2） 在定义域 上单调递增；（3） 【分析】（1）奇函数的定义域关于原点对称，由真数恒正得 ，再由 解出 ；（2）拆出内层函数分析单调性，按复合函数"同增异减"判断；（3）利用奇函数把 化为 ，再用单调性脱去对应法则列不等式组。 【详解】（1）解：由 得 ，故 的定义域为 ， 因为 为奇函数，其定义域关于原点对称，所以 ， 由 得 ，即 ， 解得 ，所以 ，此时 ，定义域为 ， 且 ，确为奇函数，符合题意。 （2）令 ，当 时 ， 且 增大时 减小，分母不为零，所以 在 上单调递增， 又 在 上单调递增，由"同增异减"得 在 上单调递增。 （3）因为 是奇函数且在 上单调递增， 由 得 ， 所以 且 且 ， 即 且 且 ，三者取交得 ， 所以不等式的解集为 。 【练1】（2026肥东尚真中学期中模拟 6）函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按 与 分类，由单调性确定最大值、最小值在哪一端取到，列方程求解后必须检验底数的范围。 【详解】解：若 ，则 在 上单调递增， 最大值为 ，最小值为 ， 由 得 ，解得 ，满足 ，符合题意； 若 ，则 在 上单调递减， 最大值为 ，最小值为 ， 仍得 ，解得 ，与 矛盾，舍去。 综上，。故选：C。 【练2】（2026襄阳四中期中 10）下列说法正确的是（　　）（多选） A．若 的定义域为 ，则 的定义域为 B．对数 恒有意义，则实数 的取值范围是 C．函数 的值域为 D．函数 在区间 上单调递增，则 【答案】ABD 【分析】A 由复合函数定义域的求法判断；B 由真数恒大于零分 与 讨论；C 换元 求值域；D 换元 后按"同增异减"列条件。 【详解】解：对于A，由 解得 ， 所以 的定义域为 ，A正确； 对于B，对数恒有意义等价于 对一切 恒成立， 当 时， 恒成立，符合要求； 当 时，需 ，解得 ， 综上 ，B正确； 对于C，设 ，则 且 ， 在 上单调递减， 当 时取得最大值 ，所以值域为 ，C错误； 对于D，令 ，由 得 ， 外层 开口向上，对称轴为 ，内层 递增， 由"同增异减"需 在 上单调递增，即 ，D正确。 故选：ABD。 　对数型函数的定义域与值域 方法要领　定义域优先：真数大于零、底数大于零且不等于 ，含参单调性问题还须内层在区间上恒正（端点代入 ）；求值域/最值一律换元 （或 ）并先写出新元范围，化为二次函数在闭区间上的最值，按对称轴与区间的位置比较端点值；值域为 等价于内层函数值域包含 （判别式 ）。 【例】（2026郑州外国语期中 18）（1）设 ，求 在 上的最小值，并求此时 的值； （2）已知函数 ，，当 时，求 的最值及对应的 的值。 【答案】（1） 时， 取最小值 ；（2） 时 取最小值 ； 时 取最大值 。 【分析】（1）设 ，用 表示 化为二次函数，注意确定 的取值范围；（2）先用对数运算性质化简 与 ，再设 换元，转化为二次函数在闭区间上的最值。 【详解】（1）解：设 ，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减， 所以 在 上单调递增，所以 ， 又 ， 所以 ，图象开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 时取得最小值 ， 由 得 ， 解得 或 （舍去）， 所以 时， 取得最小值 。 （2），， 设 ，因为 且 单调递增，所以 ， 则 ，图象开口向上，对称轴为 ， 所以 即 ， 时， 取最小值 ； 又端点 与 中 离对称轴更远， 所以 即 时， 取最大值 。 【练1】（2025东北育才中学期中 16）已知函数 。 （1）当 时，求 的值域； （2）若 的最小值为 ，求 的值； （3）在（2）的条件下，若不等式 有实数解，求实数 的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【分析】换元 化为二次函数在定区间 上的值域与最值问题，按新元区间与对称轴的位置分类；（3）参变分离为 有解，用基本不等式求右侧最小值，注意先说明 。 【详解】（1）解：设 ，则 ，当 时，， 其对称轴为 ，在 左侧，所以函数在 上单调递增， 所以 ，故所求值域为 。 （2）由 ，， 若 ，则 ，函数在 上单调递增， 函数值大于 而取不到，无最小值，不合题意； 若 ，当 即 时取得最小值 ， 由 得 ，，结合 得 。 （3）由（2）知 ， 由 有实数解，得 ， 左边 ，故必有 ， 两边同除以 ，等价于 有解， 只需 ， 由基本不等式 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ， 由 且 ，解得 ， 即 的取值范围是 。 【练2】（2026湖南师大附中期中 8）若函数 的值域为 ，且在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对数型复合函数的值域为 ，等价于内层函数的值域包含 ，即内层二次函数图象与 轴有交点；再由外层递减得内层在给定区间上单调递减且恒正，两组条件取交。 【详解】解：由 的值域为 ，得内层函数 的取值包含 ， 所以 有实根，即 ， 解得 或 ； 因为 在 上单调递减， 在 上单调递增， 所以内层 在 上单调递减且恒为正， 其对称轴为 ，开口向上，于是 ，即 ， 且区间右端点处 ，解得 ， 所以 ， 与 取交得 。故选：A。 　指对幂比较大小：中间量法 方法要领　异底异指异类（指数幂、对数、根式混排）先搭中间量分层：每个数与 、 比较，分成小于 、介于 与 、大于 三层，每层内再化同底或化同指用单调性比；同层分不出时取精确值（如 与 平方比较）作第二中间量，每步都要写出所用函数的单调性依据。 【例】（2026杭四中下沙期中 7）记 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 与 同指数，化同底后用幂函数单调性比较，并用 作中间量定位； 用底为 的对数函数单调性与 比较。 【详解】解：， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ， 所以 ，又 ，所以 ； 因为对数函数 的底数 ，在 上单调递减， 且 ，所以 ， 综上 。故选：D。 【练1】（2026湖南株洲一中期中 6）已知实数 ，，，则 ，， 这三个数的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三个数分属指数、三角、对数三种类型，分别借助 、、 的单调性，与中间量 、 比较后分层排列。 【详解】解：因为指数函数 单调递增，且 ， 所以 ； 因为对数函数 的底数 ，在 上单调递减， 且 ，所以 ； 因为 在 上单调递增，且 ， 所以 ，即 ； 综上 ，即 。故选：C。 【练2】（2026嘉兴八校联盟期中 5）已知 ，，，则实数 ，， 的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三个数类型不同，分别与中间量 和 比较：对数与 比，指数幂与 比，再按层排列。 【详解】解：因为对数函数 的底数 ，在 上单调递增， 且 ，所以 ； 因为 单调递增，所以 ； 因为 单调递减，所以 ，即 ； 综上 ，即 。故选：B。 【练3】（2026长沙一中期中 7）设 ，，，则 ，， 的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 与 可化为同指数 后用幂函数单调性比较，也可用 作桥； 与 比较。 【详解】解法一：由 ， ， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ， 所以 ； 又 ， 所以 。故选：B。 解法二：幂函数 在 上单调递增，且 ， 所以 ； 指数函数 单调递减，且 ， 所以 ， 故 ，又 ，所以 。故选：B。 【练4】（2026南师附中期中 4）已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用对数运算性质把 、 化为精确值 与 ， 借助 的单调性与 比较， 与 用平方比较。 【详解】解：， 所以 ，； 因为指数函数 单调递增，且 ， 所以 ； 又 ，，且 ， 所以 ，即 ； 综上 。故选：D。 　指对幂比较大小：构造与放缩 方法要领　不能直接化同底时三条路：化同指数构造幂函数 比较；构造商式 化为与 比较；用放缩链夹住（如 得 ， 得 ），放缩每一步必须写清所用的大小关系，不能代近似值代替推理。 【例】（2025云南师大附中期中 4）已知 ，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用 、 作放缩：把 化为 后与 比，需证 ；把 放缩到 ，把 放缩为 ，即可比出全部大小。 【详解】解：因为 ，所以 ， 于是 ，且 ； 又因为 ，指数函数 在 上单调递增， 所以 ； 而 ，所以 ，且 ； 综上 。故选：D。 【练1】（2025天津弘毅中学期中 7）若 ，，，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 与 同底，构造指数函数 比较； 与中间量 比较。 【详解】解：因为指数函数 单调递增，且 ， 所以 ； 因为指数函数 单调递减，且 ， 所以 ，即 ； 综上 ，即 。故选：D。 【练2】（2026郑州十校联考期中 5）已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 与 同指数，构造幂函数 比较； 与 同底，构造指数函数 比较，用 作桥。 【详解】解：因为幂函数 在 上单调递增，且 ， 所以 ； 因为指数函数 的底数 ，在 上单调递减， 且 ，所以 ； 综上 。故选：A。 【练3】（2026长沙望城一中期中 7）若 ，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】构造商式 与 比较，也可按同指数用幂函数单调性判断。 【详解】解：由 得 ， 因为指数函数 单调递增，且 ，， 所以 ，， 即 且 ， 又 ，，所以 ，。 故选：D。 　指对函数含参问题 方法要领　单调定参按“同增异减”拆外内层，除对称轴条件外必须补“内层在所给区间上恒正”（闭区间端点代入 ，开区间取单侧端点）；恒成立问题优先参变分离化为求最值（注意分离时除数恒正才能同除）；含 的式子先换元 并写出新元范围，二次函数按对称轴与区间位置分类，分类标准统一、不重不漏。 【例】（2025昭通一中联盟期中 17）已知函数 。 （1）求不等式 的解集； （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】（1）；（2），即 。 【分析】两问都用换元 ，注意写出新元 的范围；（2）分离参数 后化为求对勾函数 在闭区间上的最小值，用基本不等式时须说明取等条件。 【详解】（1）解：令 ，则 ， 由 解得 ，即 ， 由 单调递增得 ，即 ， 所以不等式的解集为 。 （2）当 时，令 ，得 ， 原不等式化为 对 恒成立， 因为 ，两边同除以 得 对 恒成立， 由基本不等式 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ， 故只需 ，即 的取值范围是 。 【练1】（2026沈阳五校协作体期中 16）已知函数 （ 且 ）的图象过点 。 （1）求 的解析式； （2）设函数 （），求 在 上的最大值。 【答案】（1）；（2）最大值为 （ 时）或 （ 时）。 【分析】（1）由图象过定点列 求底数；（2）换元 化为二次函数 在 上的最值，按对称轴与区间的位置关系分 、、 三类讨论。 【详解】（1）解：因为 的图象过点 ， 所以 ，解得 ，所以 。 （2），其中 ， 令 ，由 单调递增得 ，则 ，， 当 时，对称轴 ， 在 上单调递增，； 当 时， 在 上单调递增，，与 一致； 当 时，对称轴 ， 若 ，即 ， 在 上单调递增，； 若 ，即 ， 在 上单调递增，在 上单调递减， ， 综上， 在 上的最大值为 （ 时）或 （ 时）。 【练2】（2025四川安岳中学期中 13）函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是______。 【答案】 【分析】外层 单调递增，由"同增异减"得内层 在 上单调递减，此外真数必须恒正，两个条件联立解参。 【详解】解：设 ，其图象开口向下，对称轴为直线 ， 因为外层 在 上单调递增， 在 上单调递减， 由"同增异减"得 在 上单调递减，所以对称轴须在区间左侧，即 ，得 ； 又真数须在 上恒为正， 在该区间单调递减，故最小值在 处取得， 须 ，解得 ， 所以 ，即 的取值范围是 。 故答案为：。 【练3】（2026南宁三中期中 8）若函数 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元 化为二次函数型，参变分离得 恒成立，转化为求 在新元区间上的最小值，注意对称轴落在新元区间内部。 【详解】解：令 ，因为 且 单调递增， 所以 ， 原问题等价于 对 恒成立，即 恒成立， 二次函数 的图象开口向上，对称轴为 ， 所以 ， 故 。故选：A。 【练4】（2026郑州一中期中 8）已知函数 满足 ，且当 时不等式 恒成立，则实数 的取值集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由 定出 ，再判断 的符号以 为分界，按 、、 三段分类，每段提出公因式 后列 的条件。 【详解】解：由 得 ， 则不等式化为 ， 因为 ，所以 ，不等式即 ； 因为指数函数 单调递增，且 ， 当 时，，不等式恒成立，对 无限制； 当 时，，须 对一切 成立，即 ； 当 时，，须 对一切 成立，即 ； 综上 ，取值集合为 。故选：D。 　函数零点问题 方法要领　先说单调性定每段至多一根，再用零点存在定理（连续＋两端点函数值异号）定根的存在与区间；嵌套型先因式分解或换元 ，拆成 与 两层，逐段用值域和单调性清点每段根数再求和，分界值（如 ）单独验证是否重根。 【例】（2025昭通一中联盟期中 13）已知函数 ，直线 与函数 的图象恒有两个不同的交点，则实数 的取值范围是______。 【答案】 【分析】交点个数即方程 的根的个数。两段内 都增而直线递减，每段至多一个交点；再用端点值与零点存在定理判断每段何时恰有一个交点，重点考察分界点 处 与直线截距 的大小。 【详解】解：交点个数等价于方程 的实根个数。 当 时， 单调递增，直线 单调递减，两图象至多一个交点， 当 时 ，当 时 而直线趋于 ， 令 ，则 在 单调递增且函数值从负到正， 由零点存在定理，方程在 上恰有一个根； 当 时， 单调递增，直线递减，同理至多一个交点， 令 ， 在 上单调递增， ，且 时 ， 所以当 即 时，由零点存在定理方程在 上恰有一个根； 当 时 ，故 上无根，此时全图象仅 个交点，不合题意。 综上 ，即 的取值范围是 。 故答案为：。 【练1】（2025重庆一中期中 2）若 为函数 的零点，则 所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断 在 上单调递增，说明零点唯一，再由零点存在定理找两端点函数值异号的区间。 【详解】解：因为 与 都在 上单调递增， 所以 在 上单调递增，至多一个零点， 计算 ，， 因为 的图象在 上不间断，且 ， 由零点存在定理，唯一零点 。故选：B。 【练2】（2025三明二中期中 8）已知函数 ，若关于 的方程 有五个不同的实数根，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解换元：方程即 或 。先精确解出 的根数，再逐段清点 的根数随 变化的规律，使总根数为 。 【详解】解：由 得 ， 所以 或 ，两类根合共五个不同的实数根。 先看 ：当 时 即 ，无解； 当 时 ，得 ；当 时 ，得 ， 所以 恰有 个根 ，； 故须 恰有 个根，且这些根不与上述两根重合。逐段清点 的根： 当 时 单调递减，值域为 ，故 时该段恰有 根，其余无根； 当 时 单调递增，值域为 ，故 时该段恰有 根； 当 时 单调递减，值域为 ，故 时该段恰有 根； 三段合计： 时根数为 ； 时为 ； 时为 ；其余为 或 ， 所以当且仅当 时总根数为 。故选：B。 【练3】（2025大连二十四中期中 11）关于 的方程 ，以下说法正确的是（　　）（多选） A．存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根 B．存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根 C．存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根 D．不存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根 【答案】BD 【分析】两次换元：令 ，方程化为 ，其中 ；分段写清 的单调性与最值，按 与 、 的大小分类数出 根，再由每个 对应的 根数（ 一个， 且 两个）统计总根数。 【详解】解：原方程化为 ， 令 ，则 ，方程即 ，其中 ； 当 时，，在 上递减、在 上递增，，最小值 ； 当 时，，在 上递减、在 上递增，，最小值仍为 ，且 时 ， 时 。 分类统计（记每个满足 且 的根给 个 ， 给 个 ， 给 个 ）： 当 时， 的根为 ，对应 ，，，共 个实根，B正确； 当 时，， 有 个根，其中 个在 ， 个在 ，每个都给 个 ，共 个实根，故 个实根不可能出现，C错误； 当 时， 或 ，共 个实根； 当 时，，仅 一个根，给 个实根； 当 时，方程无实根。 综上，方程的实根个数只可能为 ，恰有 个实根的 不存在，A错误；恰有 个实根的 不存在，D正确。 故选：BD。 　函数模型应用 方法要领　建模三步：选型（增速越来越快选指数型 ，越来越慢选根式型）、待定系数（两组数据列方程组）、列式求解；分段计费先分段写解析式并标明每段的取值范围，再由函数值判断落在哪一段反解；最优化用基本不等式必须写“当且仅当……取等号”并验证取等点在定义区间内，分段取较大者，方案比较要同时比利润与时间成本。 【例】（2026云南师大附中期中 18）根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为 万元，每生产 万部还需另投入 万元。设该公司一年内共生产该款学习机 万部并全部销售完，每万部的销售收入为 万元，当 时 ；当 时 。已知该公司一年内共生产 万部并全部销售完时年利润为 万元；生产 万部并全部销售完时年利润为 万元。 （1）求年利润 （万元）关于年产量 （万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司所获得的年利润最大？并求出最大利润。 【答案】（1）当 时 ；当 时 ；（2）年产量为 万部时年利润最大，最大利润为 万元。 【分析】（1）利润＝销售收入－总成本，先由两组"产量—利润"数据解出 、，再分段写出 ；（2）分段求最值：二次函数段用配方法，分式段用基本不等式，必须验证取等号时的 落在对应区间内。 【详解】（1）解：由 时年利润为 万元， 得 ，即 ，解得 ； 由 时年利润为 万元， 得 ， 即 ，解得 ； 当 时，； 当 时，。 （2）当 时，，对称轴 在区间右侧， 所以 在 上单调递增，； 当 时，， 因为 ，由基本不等式 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以此时 ； 因为 ，所以当年产量为 万部时年利润最大，最大利润为 万元。 【练1】（2026长沙雅礼中学期中 7）为了保护水资源，某城市对居民生活用水实行"阶梯水价"：每户每月用水量不超过 的部分按 元 收费；超过 但不超过 的部分按 元 收费；超过 的部分按 元 收费。若某户居民本月交纳的水费为 元，则此户居民本月用水量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分段写出水费 关于用水量 的解析式并标出各段的取值范围，再由 落在哪一段反解 。 【详解】解：设本月用水量为 ，水费为 元， 当 时，，此时 ； 当 时，，此时 ； 当 时，，此时 ； 因为 ，所以 ，令 ，解得 ， 即本月用水量为 。故选：A。 【练2】（2026重庆八中期中 5）"皮尔曲线"能较好地描述生物生长规律，其函数解析式可简化为 （，，）的形式。已知 （）描述某种植物高度随时间 （单位：年）的变化规律，刚栽种时（）植物高 米，经过一年植物高 米。要让该植物的高度超过 米，至少需要（　　）年。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 、 两个条件解出 、 得到模型，再判断单调性，逐个取值验证 首次出现的年份。 【详解】解：由题意得 ， 即 且 ， 由第一式得 ，所以 ；代入第二式得 ，所以 ， 所以 ； 当 时 随 增大而减小， 递减且大于 ， 所以分母递减， 在 上单调递增， 计算 ， ， 所以至少需要 年。故选：C。 【练3】（2025四川安岳中学期中 18）某环保组织自 年元旦起监测某水域水葫芦的生长面积，最初测得生长面积为 （单位：），此后每月月底测量一次。观察发现水葫芦生长面积增加的速度越来越快，且二月底测得面积为 ，三月底测得面积为 。记最初测量时 ，现有两个函数模型可供选择：（，）与 （，）。 （1）判断哪个模型更适合，说明理由，并求出该模型的解析式； （2）该水域中水葫芦生长面积在哪个月份起达到开始研究时生长面积的 倍以上？（参考数据：，） 【答案】（1）选模型 ，解析式为 ；（2） 月份起达到 倍以上。 【分析】（1）两个模型都递增，区别在于增长的快慢趋势：指数型越增越快、根式型越增越慢，对照"增速越来越快"选型后待定系数；（2）列不等式 ，换底公式化简后用参考数据估算。 【详解】（1）解：两个模型在 上都是增函数， 模型 （）的函数值随 增大增加得越来越快， 模型 的函数值增加得越来越慢， 由题意面积增加的速度越来越快，故选模型 ， 由二月底（）为 ，三月底（）为 ，得 ， 两式相除得 ，代回得 ， 所以解析式为 。 （2）由题意 ，即 ， 两边取常用对数得 ， 所以 ， 所以 ，即从 月底（进入 月份）起，水葫芦生长面积达到开始研究时的 倍以上。 【练4】（2025厦门泉州五校联考期中 18）某运输公司今年初用 万元购进一台大型运输车。预计从第 年到第 年（）花在该车上的维护费用总计为 万元，该车每年运输收入为 万元。 （1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去购车成本及所有维护费用之差为正值） （2）若该车运输若干年后处理，有两种方案： ①当年平均盈利达到最大时，以 万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大时，以 万元的价格卖出。 哪种方案较为合算？请说明理由。 【答案】（1）运输 年开始盈利；（2）方案①较为合算。 【分析】（1）列利润函数 ，解一元二次不等式取 的最小值；（2）方案①用基本不等式求 的最大值并验证取等条件，方案②用配方法求 的最大值，再各加卖车所得比较总利润与所需年数。 【详解】（1）解：设运输 年的盈利总额为 万元， 则 ， 由 得 ， 解得 ，其中 ， 因为 ，所以 ，即该车运输 年开始盈利。 （2）方案①：年平均盈利为 ， 因为 ，由基本不等式 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以年平均盈利最大为 万元，此时盈利总额为 万元， 以 万元卖出后共得 万元； 方案②：盈利总额 ， 当 时盈利总额最大为 万元，以 万元卖出后共得 万元； 两方案所得总额都是 万元，但方案①只需 年，方案②需 年， 方案①所用时间更短，所以方案①较为合算。 　指数幂的化简求值 方法要领　先把根式化为分数指数幂、负指数化为正指数，再用运算律 逐项化简；条件求值沿平方链 逐层平方，遇偶次根号开方要加绝对值。 【例】（2025南京六校联考期中 6）已知，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式与平方差公式，结合指数幂的运算法则逐步求值。 【详解】由，两边平方得（指数幂运算法则）， 即。 所以。 故（平方差公式）。 所以。 故选：C。 【练1】（2026广州二中四元联考期中 12）=______。 【答案】 【分析】把根式化为分数指数幂，逐项用指数幂运算法则计算后相加。 【详解】； ； ； 。 所以原式。 【练2】（2026东北育才高中期中 10）已知实数满足，则下列选项中正确的是（　　）（多选） A． B． C． D．除以的商为 【答案】BCD 【分析】先由说明，再沿平方关系逐项计算：A用展开，B开方取正，C取绝对值，D用立方和公式因式分解。 【详解】解：由，若，则，得，与已知矛盾，故。 对A：（完全平方公式），A错误。 对B： ， 又知，开方得，B正确。 对C： ， 所以，C正确。 对D：由立方和公式， 取，，得， 所以 ， 故所求商，D正确。 故选：BCD。 【练3】（2026郑州一中期中 15）求值： （1） ； （2）化简 （其中，）。 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先把带分数、根式统一化为分数指数幂，再用幂的运算律逐项计算；（2）把根式全化为分数指数幂后约分，注意，由去绝对值。 【详解】（1）解：， 所以 ； ； ； 又， 故原式 。 （2）解： ， 所以 ， 又，所以第一项； ， 而 ， 所以第二项； 由得， 所以， 故原式。 【练4】（2026辽宁滨城联盟期中 15）（1）计算； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根式化为分数指数幂后用幂的运算律；（2）沿平方链先求、；（3）把用、表示。 【详解】（1）解：，， 所以； ，所以， ； 又，故原式。 （2）解：， ， 故。 （3）解：， 而， 所以。 　对数运算与化简 方法要领　异底先换底化同底，再逆用运算律把和差合并为真数的积商幂；遇 用 快捷消项；对数方程去对数后必须检验真数大于零。 【例】（2026常州金坛一中期中 17）（1）计算； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）用指数幂运算法则与对数运算法则逐项化简；（2）用完全平方求与；（3）先指对互化，再用换底公式 。 【详解】（1）解：，所以； （）； （）。 所以原式。 （2）解：，所以； ，又知， 所以； 故。 （3）解：因为，所以；因为，所以（指数式与对数式互化）。 所以（换底公式）， 。 【练1】（2025南京六校联考期中 13）=______。 【答案】 【分析】先用同底对数运算法则合并括号内各项，再由求值。 【详解】括号内同底合并（对数运算法则）： 。 所以原式。 【练2】（2025南通海门实验期中 15）（1）计算； （2）已知，求的值。 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）统一化成、后用 消项；（2）对连等式两边取对数求出、，再化简求值。 【详解】（1）解：，， ，（）， 所以原式 。 （2）解：由两边取常用对数得，即，； 由同理得，； 所以 。 【练3】（2026郑州外国语学校期中 10）下列选项中正确的是（　　）（多选） A． B．已知，且，则 C．函数的单调递增区间是 D．函数的图象关于点对称 【答案】BD 【分析】A用根式化简（偶次方根加绝对值、奇次方根不变号）判断；B指对互化后取倒数用换底公式求；C先求定义域再看内层二次函数的单调性；D验证是否成立。 【详解】对A：，所以； （奇次方根开方不变号）， 所以原式，A错误。 对B：由（且）得，（指数式与对数式互化）， 取倒数并结合换底公式得，， 所以 ， 即，又，所以，B正确。 对C：由得， 解得或，定义域为， 内层的对称轴为直线，在上单调递增，外层是增函数， 所以递增区间只能是， 而选项所写中使真数为负，函数无意义，C错误。 对D：， ， 两式相加时 ， 所以， 即的图象关于点对称，D正确。 故选：BD。 【练4】（2026河南省实验期中 15）（1）化简 ； （2）已知（且），求的值； （3）化简 。 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根式化为分数指数幂后用幂的运算律；（2）沿平方链先求再求；（3）用、与换底公式逐项化简。 【详解】（1）解： ； ； 又， 故原式 。 （2）解：将两边平方，得 ， 所以； 再平方得， 所以， 故 。 （3）解：（对数运算法则）； （）； ， 所以 （换底公式推论）； ，， 故原式。 　换底公式与对数恒等式 方法要领　遇 直接写 ；异底对数一律用 换底，并用推论 与 约分求值。 【例】（2025南通海门实验期中 6）用某品牌计算器计算对数时，需按键才能算出的值，某同学误按成，所得结果为正确值的倍。已知，，则，的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】误按所得为，由题意列式，用换底公式化为与的关系求解。 【详解】解：由题意得， 由换底公式， 得 。 因为，，所以，， 两边去分母得， 开方（取正）得， 即， 也就是（对数运算律）， 由对数值相等得。 故选：A。 【练1】（2026杭九中树范期中 6）式子 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用、与分数指数幂运算法则逐项求值。 【详解】解：（）； ，， 所以 ； ， 所以 。 所以原式。 故选：C。 【练2】（2026江苏奔牛高级中学期中 15）计算求值： （1） ； （2）已知，求的值。 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用与换底公式把各项化成同底对数后合并；（2）逆用对数运算法则去掉对数符号化为二次方程，注意真数大于零的限制并检验。 【详解】（1）解：；； （）； （对数运算律）， 由换底公式 ， 而， 所以 。 故原式。 （2）解：要使对数有意义，需，，， 所以，即。 由， 得（对数运算律）， 所以， 展开得，即， 因式分解得， 所以或。 由知时真数不合定义域，舍去， 故。 【练3】（2026合肥肥东尚真中学期中 2）已知，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】指对互化得、，取倒数并用换底公式化为与，合并后求，注意。 【详解】解：由得； 由得（指数式与对数式互化）， 其中且。 由换底公式推论，得 ，， 所以 （对数运算法则）， 即， 又，所以（负值舍去）。 故选：B。 　指数函数的图象与定点 方法要领　识图先抓定点与升降：图象过 、 增 减；求过定点令指数为 ，即 恒过 ；图类题先看图定底数范围再对照选项。 【例】（2026襄阳四中期中 3）已知，函数与的图象如图所示，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】先去绝对值讨论在的单调性，与题图对照定；再由幂函数在第一象限的图象形态定。 【详解】解：当时，；当时，， 由图象连续且不恒等于1，知且。 对照题图：的图象过点，且在上单调递减， 即在上递减，∴，得 （若，则，图象在上递增，与题图不符）。 再看：图象在第一象限单调递增且过原点，∴； 题图中曲线下凸、上升越来越快，为的幂函数图象（时为直线，时上凸、增长变慢），故。 综上且。 故选：B。 【练1】（2026湖南长沙雅礼中学期中 12）函数（常数且）的图象恒过定点，则的坐标为______。 【答案】 【分析】令指数，此时与底数无关，代入即得定点。 【详解】解：令，得， 此时（与的取值无关）， 所以图象恒过定点。 【练2】（2026南阳六校期中 11）已知函数（且），则下列结论正确的是（　　）（多选） A．的图象过定点 B．在上单调递增 C．为偶函数 D．当时，函数的最小值是 【答案】ACD 【分析】令验定点判断A；按、分类讨论单调性判断B；化简用偶函数定义判断C；令结合单调性求最值判断D。 【详解】A：，故图象过定点，A正确。 B：当时，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减； 当时，在上单调递增，故单调性与的取值有关，B错误。 C：（平方差公式）， 由分母知，且， 故为偶函数，C正确。 D：当时，，令， 则在上单调递增（递增，也递增）， 故最小值，D正确。 故选：ACD。 【练3】（2026杭九中树范期中 11）如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且四边形为平行四边形，则（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先定出四点坐标，由平行四边形对边相等得，用平方差公式化简得；再用基本不等式放缩出的范围，注意等号取不到。 【详解】解：当时，，所以， 结合题图，、在曲线上，、在曲线上， 所以，，，。 因为四边形为平行四边形，所以（平行四边形对边相等）， 即， 即 （平方差公式）， 又且单调递增，所以， 两边约去得，A正确； 从而，B错误； 由基本不等式 ， 得，即， 由单调递增得， 当且仅当即时取等号， 但题设，等号取不到，所以，C错误，D正确。 故选：AD。 　指数函数单调性应用 方法要领　先由底数定增减（ 型先写成 ），解不等式按“增函数值大自变量大、减函数值大者自变量小”脱去 ；复合函数按“同增异减”，且区间必须限制在内层定义域内。 【例】（2025福建三明二中期中 6）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象所过的象限定出底数满足，得在上单调递减，再利用单调性脱去符号，化为一元二次不等式求解。 【详解】解：，其图象过点， 若（即），则在上单调递增， 当时且随增大可大于，图象将进入第一象限，与题设矛盾； 所以，即， 此时在上单调递减，且图象恰经过第二、三、四象限，符合题意。 由单调递减及， 得（减函数中函数值大者对应的自变量小）， 整理得， 因式分解得， 解得， 所以原不等式的解集为。 故选：A。 【练1】（2026镇海中学期中 13）若在函数（且）的图象上，则函数的单调递减区间是______。 【答案】 【分析】先由定点求，再去绝对值分段，由指数函数单调性写单调递减区间。 【详解】解：因为在函数的图象上，所以，又，解得， 所以。 当时，单调递增；当时，单调递减（指数函数单调性）， 故的单调递减区间是。 【练2】（2025杭师大附中期中 11）悬链线是架在等高两柱间、自然下垂且密度均匀的曲线。在适当的平面直角坐标系中，悬链线可表示为 （）， 则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（　　）（多选） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小值为 D．的单调增区间为 【答案】BCD 【分析】用偶函数定义判断A、B；用基本不等式求最值并注意取等条件判断C；设，把化成对勾型函数，按复合函数"同增异减"判断D。 【详解】解：的定义域为，关于原点对称， 且 ， 所以为偶函数，A错误，B正确。 因为，， 且， 由基本不等式， 得， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为，C正确。 设，因为在上递增，也递增， 所以在上单调递增， 且当时，当时， 而对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且（不改变单调性）， 由"同增异减"，在上单调递减，在上单调递增， 所以单调增区间为（含最小值点），D正确。 故选：BCD。 【练3】（2026杭高三校区期中 17）已知奇函数。 （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，，是否存在实数，使得函数的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 【答案】（1）；（2）是上的增函数；（3）存在， 【分析】（1）由求参并检验；（2）化简后用定义作差证明；（3）化简得，换元后按二次函数在闭区间上的最大值分类讨论。 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得， 此时， 检验： ，符合奇函数，故。 （2）解：是上的增函数，证明如下： ， 任取，且， 则 ， 因为在上单调递增且， 所以， 又，， 所以，即， 故是上的单调增函数。 （3）解： ， 令，因为，由单调递增得， 问题化为二次函数在上的最大值为。 因为的图象开口向上，闭区间上的二次函数最大值必在区间端点处取得， ①若最大值为， 令，解得， 此时，最大值不在端点处，矛盾，舍去； ②若最大值为， 令，此时 ，符合题意。 综上，存在，使得函数在上的最大值为。 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026河南九师联盟期中 2）设，则的分数指数幂形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由根式与分数指数幂互化 逐步化简。 【详解】解：，所以（同底数幂相乘）， 故。 故选：A。 2．（6分）（2026湖南长沙一中期中 5）设，，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用换底公式 化为常用对数，再用 表出。 【详解】解：（换底公式）， ， ， 所以。 故选：B。 3．（6分）（2026嘉兴八校联盟期中 7）函数的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定单调递增，再算端点函数值，由零点存在定理定位。 【详解】解：与均在上单调递增，所以在上单调递增。 计算：（）； （∵，∴）。 ∵且图象连续，由零点存在定理，零点在内。 故选：C。 4．（6分）（2026南宁三中期中 7）设，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同底比、用指数函数单调性；同指数比、用幂函数单调性。 【详解】解：∵函数在上单调递减（），且， ∴，即。 ∵幂函数在上单调递增，且， ∴，即。 综上。 故选：C。 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026湖南师大附中期中 9）若，，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由定对数、指数函数的单调性逐项判断，D用特殊值检验。 【详解】解：A项，∵，∴在上单调递减，又， ∴，A正确。 B项，∵，∴在上单调递减，又，∴，B错误。 C项，∵，∴，又，∴， 即，∴，C正确。 D项，取，（如，满足）， 则，D错误。 故选：AC。 6．（6分）（2026河南九师联盟期中 11）已知函数，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值 C．在上单调递增 D．的图象恒过定点 【答案】ACD 【分析】由偶函数定义判断A；由指数函数值域与二次函数最值判断B；由复合函数单调性判断C；令指数为判断D。 【详解】解：A，当时，，定义域为， 且，所以为偶函数，A正确。 B，∵， ∴， 即有最大值无最小值，B错误。 C，内层在上单调递增，在上单调递减， 外层在上单调递增， 由"同增异减"，在上单调递增，C正确。 D，当时，，所以图象恒过定点，D正确。 故选：ACD。 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2026宁波六校期中 13）若函数（且，）的图象过定点，且点在幂函数的图象上，则______。 【答案】 【分析】由幂函数定义先求；令指数求定点，代入幂函数求。 【详解】解：∵是幂函数，∴系数，得，∴。 在中，令，得， 此时，所以定点。 ∵在的图象上，∴， 又，解得。 8．（6分）（2025长沙长郡中学期中 13）某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的。已知在过滤过程中废气中污染物数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：时）之间的函数关系为（，均为正常数）。如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了，那么排放前至少还需要过滤的时间是______小时。 【答案】5 【分析】由5小时排除即剩余定出，再列 解出总时间，减去已用的5小时。 【详解】解：过滤5小时后剩余污染物为原来的，即， 所以，即。 排放时应满足，即， 化简得，即， ∵单调递减，∴，解得。 所以排放前至少还需要过滤小时。 9．（6分）（2025学军中学期中 14）已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为______。 【答案】 【分析】两点关于原点对称等价于在上有非零解；展开换元，转化为二次方程在上有解，对分类讨论。 【详解】解：设两个对称点为与，则条件等价于在上有非零解， 即有解。 整理：移项合并得， 即（）， 即有解。 令，由基本不等式，当且仅当时取等号， 则问题化为在上有解。 令，其图象开口向上，对称轴为直线。 ①当时，在上递减，在上递增， 最小值， 解得，结合得。 ②当时，在上单调递增， 最小值， 即，解得，结合得。 综上。 检验：当时，，此时，仅对应，两点重合，不合题意，舍去。 所以实数的取值范围为。 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026长沙望城一中期中 17）已知函数。 （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明； （3）求不等式的解集。 【答案】（1）；（2）奇函数；（3） 【分析】（1）真数大于零列不等式组；（2）用奇偶性定义验证；（3）逆用对数运算法则合并，再用 的单调性脱去对数符号。 【详解】（1）解：要使有意义，则， 解得，所以的定义域为。 （2）解：为奇函数，证明如下： 定义域关于原点对称，对任意，有， ， 所以为奇函数。 （3）解：（对数运算法则）， 由得， ∵在上单调递增，∴， 且需。 由，因，两边乘得， 即，解得， 结合，所以不等式的解集是。 11．（15分）（2026河南省实验期中 18）已知定义域为的函数是奇函数。 （1）求实数，的值； （2）若对任意恒成立，求的取值范围。 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由与联立求参；（2）先把化成 判定单调性，再利用奇函数与单调性脱去，换元化为二次不等式恒成立。 【详解】（1）解：∵是上的奇函数，∴， 即，解得， ∴。 又由，得， 即，解得。 所以，。 （2）解：， 当增大时，增大，减小，所以减小， 即在上单调递减。 由得， ∵为奇函数，∴， 即。 又在上单调递减，脱去得 对任意恒成立， 即对任意恒成立。 设，∵，∴，问题化为对任意恒成立。 ∵判别式，开口向上且有两根， ∴需对称轴且在上的最小值， 即， 由得，且自动满足， ∴的取值范围是。 期中专项复习 · 高一教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一上期中专项复习 · 专题七 指数函数与对数函数 全国各地市期中真题精选 · 12 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 对数函数的图象与定点 对数函数图象与性质 · 指数对数性质综合 2025重庆一中期中 3 题 对数型函数的定义域与值域 函数最值 · 指数函数含参 · 对数函数含参 2026郑州外国语期中 3 题 指对幂比较大小：中间量法 指数与对数比较大小 · 指数对数比较大小 · 指数比较大小 2026杭四中下沙期中 5 题 指对幂比较大小：构造与放缩 指数比较大小 2025云南师大附中期中 4 题 指对函数含参问题 对数函数含参 · 指数函数含参 2025昭通一中联盟期中 5 题 函数零点问题 函数零点 2025昭通一中联盟期中 4 题 函数模型应用 函数模型应用 2026云南师大附中期中 5 题 指数幂的化简求值 指数幂运算 2025南京六校联考期中 5 题 对数运算与化简 指数幂与对数运算 · 对数运算 · 指数幂运算 2026常州金坛一中期中 5 题 换底公式与对数恒等式 对数运算 · 指数幂与对数运算 2025南通海门实验期中 4 题 指数函数的图象与定点 指数函数图象与性质 2026襄阳四中期中 4 题 指数函数单调性应用 指数函数图象与性质 · 指数型函数性质综合 2025福建三明二中期中 4 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 根式与分数指数幂互化：根指数为 时， 次根号下的 记为 （，），负指数幂 ，零指数幂 。 - 注意：偶次根号下开方结果非负，；奇次根号不变号，如 。 2. 指数函数定义：形如 的函数；定义域 ，值域 ，图象恒过点 。 - 注意：、 是指数型函数，其单调性仍由底数决定，但定点随平移改变。 3. 对数定义：（）；恒等式 ，。 - 对数函数 ：定义域 ，值域 ，图象恒过点 。 4. 图象与性质分类： 时 与 都单调递增； 时都单调递减。 - 记忆：底数互为倒数的指数函数图象关于 轴对称，如 与 。 5. 平移过定点结论： 恒过点 ； 恒过点 。 - 推广：含 的指数型函数 是偶函数图象，折点即 。 6. 反函数：指数函数 与对数函数 互为反函数，两图象关于直线 对称。 - 反函数的定义域、值域互换： 的值域 恰是对数函数的定义域。 7. 零点存在定理：若 在闭区间 上图象连续不断，且 ，则 在 内至少存在一个零点。 - 结合单调性可得"唯一零点"；零点即方程 的实根，也是图象与 轴交点的横坐标。 8. 常见函数模型：指数增长模型 、指数衰减模型 、对数模型 。 - 建模步骤：读题设变量→列解析式（注意自变量范围）→求值或最值→回归实际意义作答。 ▍二、法则与公式 1. 指数幂运算律：；；（）。 - 例：，。 2. 条件求值平方链：，，层层平方即可。 - 立方和：。 3. 对数运算律：；；（）。 - 逆用合并真数：。 4. 换底公式：；推论 ，，。 - 例：，，。 5. 常用结论：；；；；；。 6. 复合函数单调性"同增异减"：外层 、 的增减由底数与 比较决定，与内层单调性合成判断。 - 例： 的增区间与内层二次函数的减区间相同。 7. 对勾函数： 在 上递减、在 上递增，最小值 。 - 常配换元使用：、 等，换元后必须写出新元的取值范围。 ▍三、方法技巧 1. 指数幂的化简求值：先把根式化分数指数幂、负指数化正指数，再同底合幂；条件求值沿平方链 逐层平方；化简中遇偶次根号要加绝对值。 2. 对数运算与化简：异底先换底化同底，再逆用运算律把和差合并为真数的积商幂；遇 用 消项，遇对数方程先化同底再令真数相等。 3. 换底公式与对数恒等式：见 直接写 ；连等式 型先指对互化再取倒数换底；求 型把各条件换到同底后相加。 4. 含参对数求值（对数方程）：先用运算律去对数化为代数方程，解出参数后代回检验"真数大于零、底数大于零且不等于1"，不合者舍去。 5. 指数函数的图象与定点：识别图象先看定点 与升降定底数范围；求定点令指数为 ；含参数图象问题先取特殊点（如指数为0）再对照选项。 6. 指数函数单调性应用：由底数（或 型）定增减；解不等式时"增函数值大自变量大、减函数值值大者自变量小"脱去 ；复合函数单调区间必须限制在内层定义域内。 7. 对数函数图象与定点：第一步必求定义域（真数 ）；求定点令真数等于 ；由底数分 与 两类讨论图象位置、升降与取值。 8. 对数型函数定义域与值域：定义域列"所有真数大于零"的不等式组并取交集；值域先求内层函数范围，再按外层底数与 的大小套用对数函数的增减求范围。 9. 比较大小（指数类与对数类）：同底比幂用指数（对数）函数单调性，同指数比底用幂函数单调性；异类先与 、 分档，必要时化同指数（如 ）或搭中间量。 10. 含参、零点与模型应用：底数含参按 与 分类，"在区间上单调"端点可取等、"存在子区间单调"不可取等；零点用"端点异号＋单调性定唯一"；模型题求解后回归实际意义作答。 ▍四、易错警示 1. 偶次根号开方必须加绝对值：。 - 反例：把 写成 是错的，因 ，应为 。 2. 负数开奇次方根先化为幂：。 - 反例：认为"负数没有分数指数幂"而把该项直接丢弃，会导致计算缺项。 3. 对数运算律不可乱用：。 - 反例：；同样 。 4. 对数的底数必须大于零且不等于 。 - 反例： 无意义；用换底公式时若引入负底数（如 ）则整式作废。 5. 解对数方程必须检验真数与底数的限制。 - 反例：由 解出 时真数 ，必须舍去，只留 。 6. 单调区间必须写在定义域内，且区间之间不用 连接。 - 反例： 的增区间是 ，写成 就混入了使真数为负的 。 7. 换元后要守住新元的隐含范围。 - 反例：设 后必有 ，当 时 ；忽略范围会把闭区间上二次函数的最值端点求错。 　对数函数的图象与定点 方法要领　对数型函数 恒过定点 ，含参真数时令真数等于 最直接；判断图象与性质先按底数 或 分两类讨论，奇函数型先用“定义域关于原点对称”定参，再由“同增异减”定单调性，解不等式时用奇偶性移项后脱去 并联立定义域。 【例】（2025重庆一中期中 17）已知函数 （）为奇函数，且 。 （1）求实数 ， 的值； （2）判断 在定义域内的单调性，并说明理由； （3）解不等式 。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026肥东尚真中学期中模拟 6）函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，则 （　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026襄阳四中期中 10）下列说法正确的是（　　）（多选） A．若 的定义域为 ，则 的定义域为 B．对数 恒有意义，则实数 的取值范围是 C．函数 的值域为 D．函数 在区间 上单调递增，则 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　对数型函数的定义域与值域 方法要领　定义域优先：真数大于零、底数大于零且不等于 ，含参单调性问题还须内层在区间上恒正（端点代入 ）；求值域/最值一律换元 （或 ）并先写出新元范围，化为二次函数在闭区间上的最值，按对称轴与区间的位置比较端点值；值域为 等价于内层函数值域包含 （判别式 ）。 【例】（2026郑州外国语期中 18）（1）设 ，求 在 上的最小值，并求此时 的值； （2）已知函数 ，，当 时，求 的最值及对应的 的值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025东北育才中学期中 16）已知函数 。 （1）当 时，求 的值域； （2）若 的最小值为 ，求 的值； （3）在（2）的条件下，若不等式 有实数解，求实数 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026湖南师大附中期中 8）若函数 的值域为 ，且在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　指对幂比较大小：中间量法 方法要领　异底异指异类（指数幂、对数、根式混排）先搭中间量分层：每个数与 、 比较，分成小于 、介于 与 、大于 三层，每层内再化同底或化同指用单调性比；同层分不出时取精确值（如 与 平方比较）作第二中间量，每步都要写出所用函数的单调性依据。 【例】（2026杭四中下沙期中 7）记 ，，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026湖南株洲一中期中 6）已知实数 ，，，则 ，， 这三个数的大小关系是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026嘉兴八校联盟期中 5）已知 ，，，则实数 ，， 的大小顺序为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026长沙一中期中 7）设 ，，，则 ，， 的大小顺序是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026南师附中期中 4）已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　指对幂比较大小：构造与放缩 方法要领　不能直接化同底时三条路：化同指数构造幂函数 比较；构造商式 化为与 比较；用放缩链夹住（如 得 ， 得 ），放缩每一步必须写清所用的大小关系，不能代近似值代替推理。 【例】（2025云南师大附中期中 4）已知 ，，，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025天津弘毅中学期中 7）若 ，，，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026郑州十校联考期中 5）已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026长沙望城一中期中 7）若 ，则（　　） A．， B．， C．， D．， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　指对函数含参问题 方法要领　单调定参按“同增异减”拆外内层，除对称轴条件外必须补“内层在所给区间上恒正”（闭区间端点代入 ，开区间取单侧端点）；恒成立问题优先参变分离化为求最值（注意分离时除数恒正才能同除）；含 的式子先换元 并写出新元范围，二次函数按对称轴与区间位置分类，分类标准统一、不重不漏。 【例】（2025昭通一中联盟期中 17）已知函数 。 （1）求不等式 的解集； （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026沈阳五校协作体期中 16）已知函数 （ 且 ）的图象过点 。 （1）求 的解析式； （2）设函数 （），求 在 上的最大值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025四川安岳中学期中 13）函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026南宁三中期中 8）若函数 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026郑州一中期中 8）已知函数 满足 ，且当 时不等式 恒成立，则实数 的取值集合是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　函数零点问题 方法要领　先说单调性定每段至多一根，再用零点存在定理（连续＋两端点函数值异号）定根的存在与区间；嵌套型先因式分解或换元 ，拆成 与 两层，逐段用值域和单调性清点每段根数再求和，分界值（如 ）单独验证是否重根。 【例】（2025昭通一中联盟期中 13）已知函数 ，直线 与函数 的图象恒有两个不同的交点，则实数 的取值范围是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025重庆一中期中 2）若 为函数 的零点，则 所在的区间为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025三明二中期中 8）已知函数 ，若关于 的方程 有五个不同的实数根，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025大连二十四中期中 11）关于 的方程 ，以下说法正确的是（　　）（多选） A．存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根 B．存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根 C．存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根 D．不存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　函数模型应用 方法要领　建模三步：选型（增速越来越快选指数型 ，越来越慢选根式型）、待定系数（两组数据列方程组）、列式求解；分段计费先分段写解析式并标明每段的取值范围，再由函数值判断落在哪一段反解；最优化用基本不等式必须写“当且仅当……取等号”并验证取等点在定义区间内，分段取较大者，方案比较要同时比利润与时间成本。 【例】（2026云南师大附中期中 18）根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为 万元，每生产 万部还需另投入 万元。设该公司一年内共生产该款学习机 万部并全部销售完，每万部的销售收入为 万元，当 时 ；当 时 。已知该公司一年内共生产 万部并全部销售完时年利润为 万元；生产 万部并全部销售完时年利润为 万元。 （1）求年利润 （万元）关于年产量 （万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司所获得的年利润最大？并求出最大利润。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026长沙雅礼中学期中 7）为了保护水资源，某城市对居民生活用水实行"阶梯水价"：每户每月用水量不超过 的部分按 元 收费；超过 但不超过 的部分按 元 收费；超过 的部分按 元 收费。若某户居民本月交纳的水费为 元，则此户居民本月用水量为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026重庆八中期中 5）"皮尔曲线"能较好地描述生物生长规律，其函数解析式可简化为 （，，）的形式。已知 （）描述某种植物高度随时间 （单位：年）的变化规律，刚栽种时（）植物高 米，经过一年植物高 米。要让该植物的高度超过 米，至少需要（　　）年。 A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025四川安岳中学期中 18）某环保组织自 年元旦起监测某水域水葫芦的生长面积，最初测得生长面积为 （单位：），此后每月月底测量一次。观察发现水葫芦生长面积增加的速度越来越快，且二月底测得面积为 ，三月底测得面积为 。记最初测量时 ，现有两个函数模型可供选择：（，）与 （，）。 （1）判断哪个模型更适合，说明理由，并求出该模型的解析式； （2）该水域中水葫芦生长面积在哪个月份起达到开始研究时生长面积的 倍以上？（参考数据：，） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025厦门泉州五校联考期中 18）某运输公司今年初用 万元购进一台大型运输车。预计从第 年到第 年（）花在该车上的维护费用总计为 万元，该车每年运输收入为 万元。 （1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去购车成本及所有维护费用之差为正值） （2）若该车运输若干年后处理，有两种方案： ①当年平均盈利达到最大时，以 万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大时，以 万元的价格卖出。 哪种方案较为合算？请说明理由。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　指数幂的化简求值 方法要领　先把根式化为分数指数幂、负指数化为正指数，再用运算律 逐项化简；条件求值沿平方链 逐层平方，遇偶次根号开方要加绝对值。 【例】（2025南京六校联考期中 6）已知，则=（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026广州二中四元联考期中 12）=______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026东北育才高中期中 10）已知实数满足，则下列选项中正确的是（　　）（多选） A． B． C． D．除以的商为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026郑州一中期中 15）求值： （1） ； （2）化简 （其中，）。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026辽宁滨城联盟期中 15）（1）计算； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　对数运算与化简 方法要领　异底先换底化同底，再逆用运算律把和差合并为真数的积商幂；遇 用 快捷消项；对数方程去对数后必须检验真数大于零。 【例】（2026常州金坛一中期中 17）（1）计算； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025南京六校联考期中 13）=______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025南通海门实验期中 15）（1）计算； （2）已知，求的值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026郑州外国语学校期中 10）下列选项中正确的是（　　）（多选） A． B．已知，且，则 C．函数的单调递增区间是 D．函数的图象关于点对称 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026河南省实验期中 15）（1）化简 ； （2）已知（且），求的值； （3）化简 。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　换底公式与对数恒等式 方法要领　遇 直接写 ；异底对数一律用 换底，并用推论 与 约分求值。 【例】（2025南通海门实验期中 6）用某品牌计算器计算对数时，需按键才能算出的值，某同学误按成，所得结果为正确值的倍。已知，，则，的关系为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026杭九中树范期中 6）式子 的值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026江苏奔牛高级中学期中 15）计算求值： （1） ； （2）已知，求的值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026合肥肥东尚真中学期中 2）已知，且，则的值是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　指数函数的图象与定点 方法要领　识图先抓定点与升降：图象过 、 增 减；求过定点令指数为 ，即 恒过 ；图类题先看图定底数范围再对照选项。 【例】（2026襄阳四中期中 3）已知，函数与的图象如图所示，则（　　） A． B．且 C．且 D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026湖南长沙雅礼中学期中 12）函数（常数且）的图象恒过定点，则的坐标为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026南阳六校期中 11）已知函数（且），则下列结论正确的是（　　）（多选） A．的图象过定点 B．在上单调递增 C．为偶函数 D．当时，函数的最小值是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026杭九中树范期中 11）如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且四边形为平行四边形，则（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　指数函数单调性应用 方法要领　先由底数定增减（ 型先写成 ），解不等式按“增函数值大自变量大、减函数值大者自变量小”脱去 ；复合函数按“同增异减”，且区间必须限制在内层定义域内。 【例】（2025福建三明二中期中 6）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026镇海中学期中 13）若在函数（且）的图象上，则函数的单调递减区间是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025杭师大附中期中 11）悬链线是架在等高两柱间、自然下垂且密度均匀的曲线。在适当的平面直角坐标系中，悬链线可表示为 （）， 则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（　　）（多选） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小值为 D．的单调增区间为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026杭高三校区期中 17）已知奇函数。 （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，，是否存在实数，使得函数的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026河南九师联盟期中 2）设，则的分数指数幂形式为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2026湖南长沙一中期中 5）设，，则=（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2026嘉兴八校联盟期中 7）函数的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2026南宁三中期中 7）设，，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026湖南师大附中期中 9）若，，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2026河南九师联盟期中 11）已知函数，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值 C．在上单调递增 D．的图象恒过定点 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2026宁波六校期中 13）若函数（且，）的图象过定点，且点在幂函数的图象上，则______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（6分）（2025长沙长郡中学期中 13）某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的。已知在过滤过程中废气中污染物数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：时）之间的函数关系为（，均为正常数）。如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了，那么排放前至少还需要过滤的时间是______小时。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2025学军中学期中 14）已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026长沙望城一中期中 17）已知函数。 （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明； （3）求不等式的解集。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11．（15分）（2026河南省实验期中 18）已知定义域为的函数是奇函数。 （1）求实数，的值； （2）若对任意恒成立，求的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高一学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $