2.2.1 函数的概念教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第二章 函数 2.2.1 函数的概念 · 教学目标 1．在实际问题中找出变量之间的对应关系，深刻理解函数的概念． 2．会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 3．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 4．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． · 教学重难点 · 重点：函数的概念以及构成函数的三要素． 难点：函数概念的形成及理解． · 教学过程 1、 新课导入 初中阶段我们都学过哪些函数呢？初中时函数的概念是如何定义的？ 初中阶段学习过一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数． 初中函数定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数． 2、 新知探究 活动1：通过生活实例，探究函数概念． 实例1：一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标． 炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律是 实例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积几年的变化情况． 实例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化． 时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔系数（% ） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 通过这三个实例，请同学们思考以下问题． 问题1：从炮弹发射到炮弹落地的时间内，时间t和高度h分别对应的集合是什么？是否存在某一时间t没有高度h与之相对应？是否有两个或多个高度与之相对应？ 答案：炮弹飞行时间的变化范围是数集，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集，对应关系 ．从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应． 问题2：从1979-2001年，年份和臭氧空洞面积所对应的集合分别是什么？是否存在某一年份没有面积与之对应？有两个或多个面积与之相对应？ 答案：年份对应的数集，臭氧空洞面积所对应的数集，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应． 问题3：从1991-2001年，年份和恩格尔系数所对应的集合分别是什么？是否存在某一时间没有恩格尔系数与之相对应？是否有两个或多个恩格尔系数与之相对应？ 答案： 年份对应的集合A={1991，1992，1993，1994，1995，1996，1997，1998，1999，2000，2001} 恩格尔系数所对应的集合 B={53．8，52．9，50．1，49．9，48．6，46．4，44．5，41．9，39．2，37．9} 设计意图：通过三个问题的提问，着重向学生渗透集合与对应的观点，这样再用集合与对应的观点描述函数是显得不突兀． 追问：以上三个实例中变量的对应关系有什么共同点呢？ 答案：(1)都有两个非空数集A，B；(2)两个数集间都有一种确定的对应关系； (3) 对于数集A中的任意一个数，数集B中都有唯一确定的数和它对应． 追问：你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念吗？请各小组合作探究． 答案：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作，．其中集合A称为函数的定义域，x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集合称为函数的值域． 活动2：小组讨论，准确把握函数概念． 问题4：请同学们观察下面两种数集的对应关系，判断它们能否构成函数？ 答案：第一个图中不是函数关系，出现了“一对多”不满足对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应这个条件． 第二个图中不是函数关系，因为在集合A中“4”在集合B中没有元素与之对应，在集合A中出现了元素剩余． 第三个图中是函数关系，虽然在集合A中出现了“多对一”的情况，但是符合函数定义． 第四个图中是“一对一”函数关系． 特别注意：对应关系可以“一对一”，“多对一”，但不能“一对多”． 问题5：函数y与是同一个函数吗？ 答案：函数y与是同一个函数，虽然它们的解析式看着不同，但它们表示的函数结果都是一样的，在这里，函数概念强调了数与数之间的对应关系，并且对应关系指的是对应的结