1.2.1 必要条件与充分条件（第2课时）教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.1　必要条件和充分条件 第2课时 ( 教学目标 ) 1．理解充要条件的概念，并会判断和证明p是q的充要条件. 2．培养学生逻辑推理能力. ( 教学重难点 ) 重点：掌握充要条件的概念和判断方法. 难点：能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明. ( 课前准备 ) PPT课件 ( 教学过程 ) （一）复习引入 一个命题中，其中是条件，是结论 如果(条件结论)，就称“是的充分条件”； 如果(结论条件)，就称“是的必要条件”. （二）新知探究 问题1： 勾股定理：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方.那么这个三角形是直角三角形.根据上面两个定理，条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的什么条件？ 预设的答案： （1）在勾股定理中，“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件； “三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件. （2）在勾股定理的逆定理中，“三角形是直角三角形”是“三角形的两边的平方和等于第三边 的平方”的必要条件.综上：“三角形是直角三角形”是“三角形的两边的平方和等于第三边 的平方”的充要条件； 师生活动：教师引导学生做以下总结.一般地，如果 ，且.那么称是的充分且必要条件，简称是的充要条件， 记作.当是的充要条件时，也是的充要条件.命题中是条件，是结论，如果（条件结论），并且（结论条件），就称“是的充要条件”，这时可以记作，即与等价. 设计意图：从学生熟悉的定理出发，在判断“若p，则q”形式命题真假的基础上，明确“命题的真假”与“由p推出q”的关系，从而形成充分条件和必要条件的定义． 追问：你是否能列举一个充要条件的实例？ 师生活动：学生独立思考，展示交流，给出总结及解释． 预设的答案： “实数”是“实数”的充要条件，即. 问题2：我们知道数学上的判定定理、性质定理与充分条件、必要条件有关，那么数学定义与充分条件、必要条件有关吗？试以某一定义为例说明！ 师生活动：学生分组讨论后，代表叙述.教师点评：充要条件与数学中的定义有关.例如，“三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形；反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等.不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件，上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件.注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件，因此我们也可以将等边三角形定义为：“三个角都相等的三角形称为等边三角形”. 设计意图：通过启发学生回顾学过的数学定义，使之理解数学对象的定义是这个对象的充要条件. 问题3：结合实例，说明为什么有些数学对象有多种定义. 预设的答案：因为有些数学对象充要条件不唯一，所以可以有多种定义.如平行四边形，可定义为“两组对边分别平行的四边形”， 也可以定义为“两组对边分别相等的四边形”， 还可以定义为“一组对边平行且相等的四边形”及“对角线互相平分的四边形”等.实际上，当一个条件和某个数学定义互为充要条件时，我们可以用其代替这个定义.这同时还告诉我们，在理解数学概念时，可以用自己较为熟悉的充要条件去替换定义，从而加深自己对数学对象的理解和认识. 问题4：是的 条件，是的 条件，是的 ______________条件 预设的答案：是的充分不必要条件；是的必要不充分条件；是的既不充分也不必要条件. 师生活动：学生独立思考做出回答，教师引导学生做出以下结论：一般地，如果且，则称是的充分不必要条件，相应地，我们称是的必要不充分条件.如果且，则称是的必要不充分条件，如果且，则称是的既不充分也不必要条件. 问题5：一个命题的条件有哪些分类？并举例说明. 预设的答案：一个命题的条件分为：“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”四种.如：“三角形是直角三角形”是“一边的中线等于该边长的一半”的充要条件；“”是“”的充分不必要条件. 师生活动：同学之间互相举例，互相作答. 设计意图：由于这节课概念性，理论性较强，一般的设计使学生感到枯燥无味，为此，激发学生学习兴趣是关健，以学生为主，让学习自己构造练习题，自我感到数学美，积极投入到课堂中.使学生在学习的过程中体验并丰富学习经验. （三）初步应用 例3.在下列各题中，试判断p是q的什么条件. （1） （