平面解析几何第04讲直线与圆、圆与圆的位置关系讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第04讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 【必备知识】 1．直线与圆的位置关系(半径为，圆心到直线的距离为) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 3、常用结论 (1)圆的切线方程常用结论 ①过圆上一点的圆的切线方程为. ②过圆上一点的圆的切线方程为 ③过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为. ④弦长，弦心距，半径 （2）直线被圆截得的弦长 弦心距d、弦长l的一半l及圆的半径r构成一直角三角形，且有． （3）两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0．　　 考点10　直线与圆的位置关系 　【常用方法】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． (4)判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小． 【典例分析10】 1、直线与圆的位置关系是(　　) A．相交　　　 B．相切 C．相离 D．不确定 2、已知直线x－my＋4m－2＝0与圆x2＋y2＝4相切，则m＝(　　) A．0 B．－ C．0或－ D．0或 3、圆x2＋y2－4y－4＝0上恰有两点到直线x－y＋a＝0(a>0)的距离为，则a的取值范围是(　　) A．(4，8) B．[4，8) C．(0，4) D．(0，4] 考点11　圆与圆的位置关系 【常用方法】如何处理两圆的位置关系 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心距与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．求公共弦长时在一个圆中求解即可． 【典例分析11】 1、当实数m变化时，圆x2＋y2＝1与圆N：(x－m)2＋(y－1)2＝4的位置关系不可能是(　　) A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 2、已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是(　　) A．x2＋y2＝1 B．(x－4)2＋(y－5)2＝16 C．x＋y＝1 D．x－y＝2 3、在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为____________． 考点12　圆的切线、弦长问题 角度一　圆的弦长问题 【常用方法】弦长的两种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2． [注意]　当直线与圆相交时，几何法求弦长较方便，一般不用代数法． 【典例分析12】 1、已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法错误的是(　　) A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M被x轴截得的弦长为8 C．圆M的半径为5 D．圆M被y轴截得的弦长为7 2、已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 角度二　圆的切线问题 【常用方法】过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0．由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程． 代数法 当斜率不存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 特别提醒：　求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一