专题58 排列与组合-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试

专题58 排列与组合 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：排列与排列数公式 题型二：组合与组合数公式 题型三：元素有限制排列 题型四：排列相邻问题 题型五：排列不相邻问题 题型六：分组分配问题 题型七：其他组合问题 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 2.能解决简单的实际问题. 【考点预测】 1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示. 3.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C 【常用结论】 1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏. 2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏. 【方法技巧】 1.排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 2.组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 3.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 4.对于分堆与分配问题应注意三点 ①处理分配问题要注意先分堆再分配. ②被分配的元素是不同的. ③分堆时要注意是否均匀. 二、【题型归类】 【题型一】排列与排列数公式 【典例1】（多选）（2021下·山东·高二统考期中）为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则下列选项正确的是(    ) A．共有625种分配方法 B．共有1024种分配方法 C．每个小区至少分配一名志愿者，则有240种分配方法 D．每个小区至少分配一名志愿者，则有480种分配方法 【典例2】（多选）（2023下·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（    ） A． B．已知，则等式对任意正整数都成立 C．设，则的个位数字是6 D．等式对任意正整数都成立 【典例3】（多选）（2023下·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（    ） A． B．设，则的个位数字是6 C．已知，则等式对任意正整数，都成立 D．等式对任意正整数都成立 【题型二】组合与组合数公式 【典例1】（多选）（2023·海南·海南中学校考三模）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是 B．由“第行所有数之和为”猜想： C． D．存在，使得为等差数列 【典例2】（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉12