专题57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试

专题57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：分类加法计数原理 题型二：分步乘法计数原理 题型三：实际中的计数问题 题型四：几何计数问题 题型五：数字排列问题 题型六：涂色问题 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.能解决简单的实际问题. 【考点预测】 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 【常用结论】 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终. (1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类. (2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”. 【方法技巧】 1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复. (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏. 2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事. 3.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成. 4.在综合应用两个原理解决问题时应注意： (1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化. 5.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成. 二、【题型归类】 【题型一】分类加法计数原理 【典例1】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（    ） A．15 B．30 C．25 D．16 【典例2】（2023·河南开封·统考一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（    ） A．84 B．108 C．132 D．144 【典例3】（2023·四川达州·统考一模）从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A．36 B．42 C．45 D．54 【题型二】分步乘法计数原理 【典例1】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种． A．144 B．72 C．36 D．24 【典例2】（2023·山西临汾·校考模拟预测）8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种 【典例3】（2023·全国·模拟预测）2023年亚运会将在杭州举行.将6位志愿者分成4组，其中两组各2人，另两组各1人，分赴亚运会的4个不同场馆服务，不同的分配方案的种数为（    ） A．4320 B．1080 C．180 D．90 【题型三】实际中的计