浙江省苍南中学2023-2024学年高一上学期数学家摇篮竞赛试题

2023年苍南中学高一数学家摇篮竞赛 满分：120分 考试时间：90分钟 一、单选题 1. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么，函数解析式为 ，值域为 的同族函数共有（    ）个. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2.“ ”是“ ”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设 .则 的最大值为（    ） A. B. C. D. 4. 已知 是定义在 上的偶函数，对任意的 满足 且 ，则不等式 的解集为（    ） A. B. C. D. 5. 已知函数 的值域与函数 的定义域相同，则实数a的取值范围是（   ）                    A B. C.    D. 6. 已知函数 满足： （1）对任意 、 ， ，都有 ； （2）对任意 ，都有 .则 的值是（    ） A. 17 B. 21 C. 25 D. 29 二、多选题 7. 已知定义在 上的函数 在 上单调递增，且 为偶函数，则（    ） A.的对称轴为直线 B.的对称轴为直线 C. D. 不等式的解集为 8. 下列说法正确的有（    ） A. 已知，则的最小值为 B. 若正数x、y满足，则的最小值为9 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3 D. 设x、y为实数，若，则的最大值为 9. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为 ，则下列关于狄利克雷函数 的说法错误的是（    ） A. 对任意实数， B.既不是奇函数又不是偶函数 C. 对于任意的实数，， D. 若，则不等式的解集为 10. 已知函数 是定义在实数集R上的奇函数，当 时， ．若 恒成立，则实数a的取值可能是（    ） A. -1 B. C. D. 1 三、填空题 11. 已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为______. 12. 实数 ， 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围______. 13. 若函数 在区间 上的值域为 ，则称区间 为函数 的一个“倒值区间”．已知定义在R上的奇函数 ，当 时， ．那么当 时， ______；求函数 在 上的“倒值区间”为______． 14. 设 ，对函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，其值域是_______. 四、解答题 15. 已知函数 为幂函数，且 在 上单调递增. （1）求 的值，并写出 的解析式； （2）解关于 的不等式 ，其中 . 16. 中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? （2）为了抓住此次契机，扩大该商品 影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入  万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 17. 已知函数 ，定义域为 ． （1）写出函数 的奇偶性（无需证明），判断并用定义法证明函数 在 上的单调性； （2）若 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围； （3）解不等式 ． 18. 设函数 （a≠0）满足 ， ， ，求当 时 的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1-6 CCDCBD 7.BD 8.BCD 9.BCD 10.AC 11 12.-2.3] 13-+x145 份. 14 15. 解：(1)因为f)=(m-2m-2),m-1(m∈R)为幂函数，且在(0，+心)上单调递增， ∫m2-2m-2=1 则(m-1>0 解得m=3,所以，f)=2 (2)即解不等式x2-(a+1x+a>0,即x-1)x-a)>0 当a=1,x卡1，即不等式解集为xk卡1}H 当a>1,X<1或x>a,即不等式解集为x∈(，1)U(a,+o), 当a<1,x<a或x>1,即不等式解集为x∈(o,aU(1,+o), 综上 当a=1,不等式解集为x11} 当a>1,不等式解集为x∈(x,1)U(a,+) 当a<1,不等式解集为x∈(，a)U(1,+o). 16 【小问1详解】 设每件定价为1元，依题意得[8-0.2(1-25