8.1.1 函数的零点（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

8.1.1 函数的零点 一、函数的零点与方程的根 1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2、注意事项： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3、方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 二、零点存在定理及其推论 1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且， 那么，函数在区间内至少有一个零点， 即存在，使得，这个也就是方程的解。 【注意】（1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的. 2、重要推论： （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，， 且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 三、零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 四、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 五、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 题型一 求函数的零点 【例1】（2023·福建三明·高一三明一中校考期中）函数的零点为（ ） A． B． C．0 D．1 【变式1-1】（2022·山西朔州·高一统考阶段练习）已知函数且，且，则的零点是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（ ） A． B． C．2 D．4 【变式1-3】（2023·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ． 【变式1-4】（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数． （1）求及函数的定义域； （2）求函数的零点． 题型二 零点所在区间的判断 【例2】（2023·河北石家庄·高一石家庄二中校考阶段练习）（多选）已知函数在区间上有且仅有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题正确的是（ ） A．函数的两个零点可以分别在区间和内 B．函数的两个零点可以分别在区间和内 C．函数的两个零点可以分别在区间和内 D．函数在区间上单调 【变式2-1】（2023·重庆·高一潼南中学校联考阶段练习）若为函数的零点，则所在区间为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·河南·高一校联考阶段练习）已知函数，则方程在下列哪个区间上必有实数根（ ） A． B． C． D．不能确定 【变式2-3】（2023·贵州·高一统考阶段练习）函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·天津静海·高一校联考阶段练习）函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 题型三 根据零点所在区间求参数 【例3】（2023·江苏·高一专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．∪ 【变式3-1】（2