精品解析：河北省沧州市泊头市第一中学2023-2024学年高二上学期第六次（12月）月考数学试题

泊头一中高二上学期第六次月考 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 240 B. 60 C. 180 D. 120 3. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 4. 已知正三棱柱中，，点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，若成等差数列，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A. 440 B. 330 C. 220 D. 110 二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，则下列说法正确的为（ ） A. 若该曲线是双曲线方程，则，或 B. 若则该曲线为椭圆 C. 若该曲线离心率为，则 D. 若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则离心率 10. 设等比数列的公比为，前项积为，并目满足条件，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. 12. 已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点，点在正方体表面上运动，以下命题正确的有（ ） A. 平面截正方体所得的截面面积为 B. 三棱锥内切球的半径为 C. 当点在棱运动时，平面与平面所成锐二面角的余弦值可以取到 D. 当点在底面上时，直线与所成角为，则动点的轨迹长度为 三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上） 13. 已知，则 ______ ． 14. 若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数__________. 15. 已知数列满足，且，若，则正整数为______. 16. 如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为______． 四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知函数，其中为常数，函数是其导函数，且满足，. （1）求函数的解析式； （2）若函数在某点处的切线过点，求该切线的一般式方程 18. 已知正三棱柱中，，D，E，F分别为的中点． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的正弦值． 19. 已知数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设__________，求数列的前项和为． ① ，② ，③ ．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题． 20. 双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点. （1）求抛物线的方程； （2）如图，点为抛物线准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点. 21. 已知等差数列前项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的